哈尔测度的唯一性定理 哈尔测度的唯一性定理是局部紧拓扑群上的重要结果，它指出在相差一个正数倍的意义下，哈尔测度是唯一的。让我为你详细解释。 回顾哈尔测度的定义 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群 \( G \) 上的一个正则博雷尔测度 \( \mu \)，满足： 左不变性 ：对任意可测集 \( A \subset G \) 和群元素 \( g \in G \)，有 \( \mu(gA) = \mu(A) \)。 局部紧致性 ：群 \( G \) 的拓扑是局部紧的，即每点有紧邻域。 类似地，可以定义右哈尔测度（满足右不变性 \( \mu(Ag) = \mu(A) \)）。 唯一性定理的表述 若 \( \mu \) 和 \( \nu \) 是 \( G \) 上的两个左哈尔测度，则存在常数 \( c > 0 \)，使得对任意可测集 \( A \)，有 \( \nu(A) = c \mu(A) \)。换言之，左哈尔测度在正数倍的意义下唯一。右哈尔测度也有类似结论。 唯一性的证明思路 唯一性的证明通常基于以下步骤： 考虑两个左哈尔测度 \( \mu \) 和 \( \nu \)。 利用群上连续紧支撑函数的积分，证明存在函数 \( h: G \to \mathbb{R}^+ \)，使得对任意可测函数 \( f \)，有 \( \int f \, d\nu = \int f h \, d\mu \)。 通过左不变性证明 \( h \) 是常数函数，从而得出 \( \nu = c \mu \)。 唯一性与模函数的关系 在一般群上，左哈尔测度和右哈尔测度可能不同，但它们通过模函数 \( \Delta: G \to \mathbb{R}^+ \) 关联：若 \( \mu \) 是左哈尔测度，则 \( \mu(A g) = \Delta(g) \mu(A) \) 定义了右哈尔测度。唯一性定理表明，左（或右）哈尔测度各自在正数倍下唯一。 应用示例 在阿贝尔群（如 \( \mathbb{R}^n \)）上，左哈尔测度与右哈尔测度一致，唯一性定理退化为勒贝格测度的唯一性（相差缩放因子）。 在非阿贝尔群（如 \( GL(n, \mathbb{R}) \)）上，左和右哈尔测度可能不同，但各自唯一。 这一唯一性保证了哈尔测度的典范性，是调和分析和群表示论的基础工具。