遍历理论中的随机游走

1. 基本定义
   随机游走是定义在度量空间（如ℤᵈ或群）上的随机过程，描述一个点通过随机步长的连续运动。形式化地，设{ξₙ}为独立同分布的随机变量（步长），位置序列Xₙ = X₀ + ξ₁ + ... + ξₙ称为随机游走。在遍历理论中，我们常研究其诱导的马尔可夫链或群作用的动力系统。

2. 与遍历理论的核心关联
   随机游走可视为保测动力系统的特例：若步长分布支撑在群G上，则Xₙ对应群作用在G的遍历测度空间上的平移。其遍历性（如不可约性、周期性）与步长分布密切相关。例如，ℤ上的简单随机游走（步长±1等概率）是遍历的当且仅当其无漂移（对称）。

3. 常返性与遍历性
   随机游走的常返性（是否无限次返回起点）是遍历理论的经典问题。波利亚定理指出：ℤᵈ上简单随机游走当d≤2时常返，d≥3时非常返。常返性等价于动力系统的保守性（由霍普夫分解刻画），而非常返系统具有 dissipative 性质。

4. 边界理论与泊松公式
   对非紧空间（如双曲群）上的随机游走，可引入几何边界（如马丁边界）。遍历测度对应于边界上的调和函数，其渐近行为由泊松公式描述。这联系到随机游走的极限分布与动力系统的渐近稳定性。

5. 速率与集中不等式
   现代研究关注收敛速率，如通过谱隙或输运不等式量化混合时间。例如，ℤᵈ上随机游走的方差满足Var(Xₙ) ∼ n，且其位置分布服从中心极限定理——这反映了遍历理论中的局部极限定理与大偏差原理。

6. 与李群作用的推广
   随机游走可推广到李群（如旋转群SO(3)）或齐次空间，步长分布决定其遍历性。例如，非阿贝尔群上随机游走的不可约性由步长分布的支撑生成整个群这一性质保证（塞尔伯特猜想相关结果）。