分析学词条：拉普拉斯方程 1. 基本概念与物理背景 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，形式为 ∇²u = 0，其中 ∇² 是拉普拉斯算子。在三维直角坐标系中写作： ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0 该方程描述的是稳态物理场（如静电场、稳态温度场），其解称为调和函数。例如在无源静电场中，电势满足拉普拉斯方程，解的唯一性由边界条件决定。 2. 调和函数的性质 调和函数具有以下核心特征： 平均值性质：函数在任意球心的值等于球面平均值 极值原理：非常数调和函数在区域内部不能取得最大值或最小值 光滑性：调和函数在其定义域内无限次可微 解析性：调和函数局部可展开为收敛幂级数 3. 基本解与格林函数 三维拉普拉斯方程的基本解为 Φ(x) = -1/(4π|x|)，满足 ∇²Φ = δ（δ为狄拉克函数）。通过基本解可构造格林函数 G(x,y) = Φ(x-y) - h(x,y)，其中修正项 h 满足边值问题。格林函数将泊松方程的解表示为积分形式：u(x) = ∫G(x,y)f(y)dy + 边界项。 4. 狄利克雷问题与泊松公式 对单位球上的狄利克雷问题（给定边界值求调和函数），泊松公式给出显式解： u(r,θ) = (1-r²)/(2π) ∫₀²π u(1,φ)/(1-2rcos(θ-φ)+r²) dφ 该公式通过球面泊松核将边界值与内部解联系，体现了调和函数由边界值唯一决定的性质。 5. 弱解理论与正则性 当边界条件不光滑时，需引入弱解概念。通过能量泛函极小化或分布意义下的拉普拉斯方程定义弱解。正则性理论证明：弱解在区域内部必然光滑（Weyl引理），且若边界足够正则，弱解在闭区域上连续到边界。 6. 佩龙方法与障碍问题 佩龙方法通过上调和函数族的下确界构造狄利克雷问题的解。定义广义边界值为： H_ f(x) = inf{v(x) | v上调和且lim inf v≥f} 该方法可处理非正则边界，并引出现代位势理论。相关障碍问题则研究在给定障碍函数上方满足拉普拉斯方程的解，与自由边界问题密切相关。 7. 复变函数联系 在二维情形，调和函数与解析函数紧密关联：若f(z)=u+iv解析，则u,v满足拉普拉斯方程。通过共形映射可将复杂区域问题转化到单位圆处理，体现复分析方法在椭圆型方程中的特殊价值。 8. 现代发展视角 拉普拉斯方程理论延伸至黎曼流形上的调和分析，与几何测度论、随机过程（布朗运动）相联系。其离散版本在图论和网络分析中有重要应用，保持了许多连续情形的本质特征。