生物数学中的基因表达随机模型 基因表达随机模型是描述基因转录和翻译过程中随机涨落的数学模型。我将从基本概念开始，逐步介绍其数学形式、关键参数和应用场景。 基因表达随机性的来源 基因表达涉及一系列生化反应（如转录因子结合、转录启动、mRNA翻译），这些反应本质上是随机的。随机性主要来自：①分子碰撞的随机性；②低拷贝数分子的随机涨落；③细胞状态差异。例如，单个基因可能随机切换"开启/关闭"状态，导致mRNA和蛋白质数量随时间波动。 基本建模框架：生灭过程 用连续时间马尔可夫链建模mRNA（M）和蛋白质（P）的数量动态： mRNA的生成速率：k_ m（转录速率常数） mRNA的降解速率：γ_ m（降解速率常数） 蛋白质的生成速率：k_ p（翻译速率常数） 蛋白质的降解速率：γ_ p（降解速率常数） 状态转移概率由主方程描述： dP(M,P)/dt = k_ m P(M-1,P) + γ_ m (M+1) P(M+1,P) + k_ p M P(M,P-1) + γ_ p (P+1) P(M,P+1) - (k_ m + γ_ m M + k_ p M + γ_ p P) P(M,P) 矩分析方法 通过求解一阶矩（均值）和二阶矩（方差）的微分方程分析噪声特性： mRNA均值：⟨M⟩ = k_ m/γ_ m 蛋白质均值：⟨P⟩ = (k_ p/γ_ p)⟨M⟩ 噪声强度用变异系数的平方表示：η² = σ²/⟨P⟩² = 1/⟨P⟩ + (k_ p/γ_ p) / [ ⟨P⟩(1+γ_ m/γ_ p) ] 第一项源于蛋白质生成的泊松噪声，第二项反映mRNA波动传递的噪声。 启动子切换模型 考虑基因启动子在活跃（ON）和沉默（OFF）状态间的随机切换： ON→OFF速率：k_ off OFF→ON速率：k_ on 此时噪声强度增加为： η² = 1/⟨P⟩ + (k_ p/γ_ p)/[ ⟨P⟩(1+γ_ m/γ_ p)] + [ k_ p k_ on/(γ_ p(k_ on+k_ off))]² / [ ⟨P⟩²(1+γ_ m/(k_ on+k_ off))(1+γ_ p/(k_ on+k_ off)) ] 第三项表征启动子切换贡献的噪声。 参数估计与实验验证 通过单细胞荧光成像数据拟合模型参数： 使用最大似然估计或矩匹配法从时间序列数据推断k_ m, k_ p等参数 荧光原位杂交（FISH）可验证mRNA分布的模型预测 实验显示大肠杆菌lac操纵子的蛋白质噪声强度与模型预测误差 <15% 生物学意义 随机性可能促进细胞命运决策（如细菌持久性）、发育模式形成或抗药性进化。例如，HIV病毒潜伏期与病毒基因随机表达相关，该模型可预测激活概率。