代数拓扑中的正合序列（Exact Sequence）
字数 2830 2025-10-27 23:53:45

好的，我们开始学习一个新的词条：代数拓扑中的正合序列（Exact Sequence）。

第一步：基本概念——什么是序列？

在数学中，一个序列（特别是在代数语境下）指的是一串对象（例如集合、群、向量空间等）以及连接它们的一串态射（可以理解为保持结构的映射，例如群同态、线性映射等）。

我们用一个简单的例子来理解。假设我们有三个阿贝尔群（为简化讨论，我们通常在阿贝尔群背景下引入正合序列）和两个群同态：
A, B, C
以及同态 f: A → B 和 g: B → C。

我们可以将它们写成一个序列：
A --f--> B --g--> C

在这个序列中，对象和态射一个接一个地连接起来。

第二步：序列在“某一点”的正合性

现在，我们来定义最关键的概念：正合性（Exactness）。

对于一个序列 A --f--> B --g--> C，我们说它在对象 B 处是正合的（exact），如果满足以下条件：
“f 的像（Image）等于 g 的核（Kernel）”。

用符号表示就是：Im(f) = Ker(g)

让我们来拆解这个条件的含义：

  1. Im(f)（f的像）： 这是在群 B 中所有能被 f 映射到的元素构成的子群。即 Im(f) = { b ∈ B | 存在 a ∈ A，使得 f(a) = b }。
  2. Ker(g)（g的核）： 这是在群 B 中被 g 映射到 C 的零元（单位元）的那些元素构成的子群。即 Ker(g) = { b ∈ B | g(b) = 0 }（这里 0 代表 C 群的单位元）。

所以，Im(f) = Ker(g) 这个条件意味着：
一个元素 b ∈ B 是来自 A 的某个元素的像（即 b = f(a)），当且仅当它被 g 映射到 C 的零元（即 g(b) = 0）。

换句话说，B 中那些“看起来像是从 A 来的”元素，正好就是那些“被 g 消灭（映射为零）的”元素。

第三步：短正合序列（Short Exact Sequence）

最常用和最重要的一种正合序列是短正合序列（Short Exact Sequence）。它的形式如下：
0 --> A --f--> B --g--> C --> 0

这里的 0 代表只含一个零元（单位元）的平凡群。这个序列在 每一个对象 处都是正合的。让我们逐一检查其正合性：

  1. 在 A 处正合： 序列是 0 --> A --f--> ...。第一个映射（从 0 到 A）只能将零元映射到 A 的零元。所以它的像 Im(0→A) = {0_A}。这个像必须等于下一个映射 f 的核 Ker(f)。因此，我们得到 Ker(f) = {0_A}。这意味着 f 是一个单射（Injective）（即一对一映射）。
  2. 在 B 处正合： 这正是我们第二步讨论的情况，Im(f) = Ker(g)。
  3. 在 C 处正合： 序列是 ... --g--> C --> 0。最后一个映射（从 C 到 0）必然将 C 的所有元素都映射到 0。所以它的核 Ker(C→0) 是整个群 C。这个核必须等于前一个映射 g 的像 Im(g)。因此，我们得到 Im(g) = C。这意味着 g 是一个满射（Surjective）（即映射是覆盖整个 C 的）。

综合起来，一个短正合序列 0 --> A --f--> B --g--> C --> 0 告诉我们：

  • f 是单射，所以 A 可以看作是 B 的一个子群。
  • g 是满射。
  • Im(f) = Ker(g)。这意味着，如果我们把 A 视为 B 的子群，那么商群 B / A 恰好与 C 同构。

因此，短正合序列是描述“B 以 A 为子群，并以 C 为商群”这一结构的精确而强大的工具。 它本质上是在说 B 是由 A 和 C 以某种方式“扩展”而成的。

第四步：直观例子——整数模n群

让我们看一个具体的例子来巩固理解。考虑序列：
0 --> Z --x2--> Z --mod 2--> Z/2Z --> 0

这里：

  • 第一个映射 x2 是“乘以2”的映射：f(n) = 2n。
  • 第二个映射 mod 2 是标准的多余映射：g(m) = m mod 2。
  • Z/2Z 是整数模2的群，包含两个元素 {0, 1}。

验证其正合性：

  1. x2 是单射吗？是的，因为只有 n=0 时 2n=0。所以 Ker(x2) = {0}，与 Im(0→Z) = {0} 相等。在第一个 Z 处正合。
  2. Im(x2) 是 Z 中所有偶数的集合 2Z。
    Ker(mod 2) 是那些模2等于0的整数，也就是所有偶数 2Z。
    所以 Im(x2) = Ker(mod 2)。在中间的 Z 处正合。
  3. mod 2 是满射吗？是的，因为 g(0)=0, g(1)=1 覆盖了 Z/2Z。所以 Im(mod 2) = Z/2Z，等于 Ker(Z/2Z→0) = Z/2Z。在 Z/2Z 处正合。

这个短正合序列精确地描述了“整数群 Z 如何包含偶数群 2Z，并且商群为 Z/2Z”。

第五步：长正合序列与数学中的应用

正合序列的概念可以推广到任意长度的序列：
... --> A_{n-1} --f_{n-1}--> A_n --f_n--> A_{n+1} --f_{n+1}--> ...
如果这个序列在每一个对象 A_n 处都满足 Im(f_{n-1}) = Ker(f_n)，那么它就被称为一个长正合序列（Long Exact Sequence）。

长正合序列在代数拓扑和同调代数中无处不在，其威力在于：

  • 它们连接了不同的数学对象。例如，在代数拓扑中，一个拓扑空间的不同维数的同调群（H_n(X)）可以通过一个长正合序列（称为同调长正合序列）联系起来，这个序列由一个空间对 (X, Y)（其中 Y 是 X 的子空间）产生。这允许我们通过已知的 Y 和 X/Y 的信息来计算未知的 X 的信息。
  • 它们是进行“代数追踪”的强大工具。序列的正合性意味着信息在序列中以一种高度约束的方式流动。如果一个对象处的信息缺失，可以通过序列中相邻对象的信息来推断。

总结一下：
正合序列是代数学中一个描述对象间精确关系的基本语言。短正合序列 0→A→B→C→0 揭示了 B 是由 A 和 C 构建的扩张。长正合序列则将一系列对象串联起来，成为同调论、代数拓扑等领域中进行计算和证明的核心工具。

好的，我们开始学习一个新的词条： 代数拓扑中的正合序列（Exact Sequence） 。 第一步：基本概念——什么是序列？ 在数学中，一个 序列 （特别是在代数语境下）指的是一串对象（例如集合、群、向量空间等）以及连接它们的一串 态射 （可以理解为保持结构的映射，例如群同态、线性映射等）。 我们用一个简单的例子来理解。假设我们有三个阿贝尔群（为简化讨论，我们通常在阿贝尔群背景下引入正合序列）和两个群同态： A , B , C 以及同态 f: A → B 和 g: B → C 。 我们可以将它们写成一个序列： A --f--> B --g--> C 在这个序列中，对象和态射一个接一个地连接起来。 第二步：序列在“某一点”的正合性 现在，我们来定义最关键的概念： 正合性（Exactness） 。 对于一个序列 A --f--> B --g--> C ，我们说它在对象 B 处是 正合的（exact） ，如果满足以下条件： “f 的像（Image）等于 g 的核（Kernel）” 。 用符号表示就是： Im(f) = Ker(g) 让我们来拆解这个条件的含义： Im(f) （f的像） ： 这是在群 B 中所有能被 f 映射到的元素构成的子群。即 Im(f) = { b ∈ B | 存在 a ∈ A，使得 f(a) = b } 。 Ker(g) （g的核） ： 这是在群 B 中被 g 映射到 C 的零元（单位元）的那些元素构成的子群。即 Ker(g) = { b ∈ B | g(b) = 0 } （这里 0 代表 C 群的单位元）。 所以， Im(f) = Ker(g) 这个条件意味着： 一个元素 b ∈ B 是来自 A 的某个元素的像（即 b = f(a)），当且仅当它被 g 映射到 C 的零元（即 g(b) = 0）。 换句话说， B 中那些“看起来像是从 A 来的”元素，正好就是那些“被 g 消灭（映射为零）的”元素。 第三步：短正合序列（Short Exact Sequence） 最常用和最重要的一种正合序列是 短正合序列（Short Exact Sequence） 。它的形式如下： 0 --> A --f--> B --g--> C --> 0 这里的 0 代表只含一个零元（单位元）的平凡群。这个序列在 每一个对象 处都是正合的。让我们逐一检查其正合性： 在 A 处正合 ： 序列是 0 --> A --f--> ... 。第一个映射（从 0 到 A ）只能将零元映射到 A 的零元。所以它的像 Im(0→A) = {0_A} 。这个像必须等于下一个映射 f 的核 Ker(f) 。因此，我们得到 Ker(f) = {0_A} 。这意味着 f 是一个 单射（Injective） （即一对一映射）。 在 B 处正合 ： 这正是我们第二步讨论的情况， Im(f) = Ker(g) 。 在 C 处正合 ： 序列是 ... --g--> C --> 0 。最后一个映射（从 C 到 0 ）必然将 C 的所有元素都映射到 0 。所以它的核 Ker(C→0) 是整个群 C 。这个核必须等于前一个映射 g 的像 Im(g) 。因此，我们得到 Im(g) = C 。这意味着 g 是一个 满射（Surjective） （即映射是覆盖整个 C 的）。 综合起来，一个短正合序列 0 --> A --f--> B --g--> C --> 0 告诉我们： f 是单射，所以 A 可以看作是 B 的一个子群。 g 是满射。 Im(f) = Ker(g) 。这意味着，如果我们把 A 视为 B 的子群，那么商群 B / A 恰好与 C 同构。 因此，短正合序列是描述“B 以 A 为子群，并以 C 为商群”这一结构的精确而强大的工具。 它本质上是在说 B 是由 A 和 C 以某种方式“扩展”而成的。 第四步：直观例子——整数模n群 让我们看一个具体的例子来巩固理解。考虑序列： 0 --> Z --x2--> Z --mod 2--> Z/2Z --> 0 这里： 第一个映射 x2 是“乘以2”的映射： f(n) = 2n 。 第二个映射 mod 2 是标准的多余映射： g(m) = m mod 2 。 Z/2Z 是整数模2的群，包含两个元素 {0, 1} 。 验证其正合性： x2 是单射吗？是的，因为只有 n=0 时 2n=0 。所以 Ker(x2) = {0} ，与 Im(0→Z) = {0} 相等。 在第一个 Z 处正合 。 Im(x2) 是 Z 中所有偶数的集合 2Z 。 Ker(mod 2) 是那些模2等于0的整数，也就是所有偶数 2Z 。 所以 Im(x2) = Ker(mod 2) 。 在中间的 Z 处正合 。 mod 2 是满射吗？是的，因为 g(0)=0 , g(1)=1 覆盖了 Z/2Z 。所以 Im(mod 2) = Z/2Z ，等于 Ker(Z/2Z→0) = Z/2Z 。 在 Z/2Z 处正合 。 这个短正合序列精确地描述了“整数群 Z 如何包含偶数群 2Z ，并且商群为 Z/2Z ”。 第五步：长正合序列与数学中的应用 正合序列的概念可以推广到任意长度的序列： ... --> A_{n-1} --f_{n-1}--> A_n --f_n--> A_{n+1} --f_{n+1}--> ... 如果这个序列在 每一个对象 A_ n 处都满足 Im(f_{n-1}) = Ker(f_n) ，那么它就被称为一个 长正合序列（Long Exact Sequence） 。 长正合序列在代数拓扑和同调代数中无处不在，其威力在于： 它们连接了不同的数学对象 。例如，在代数拓扑中，一个拓扑空间的不同维数的同调群（ H_n(X) ）可以通过一个长正合序列（称为同调长正合序列）联系起来，这个序列由一个空间对 (X, Y) （其中 Y 是 X 的子空间）产生。这允许我们通过已知的 Y 和 X/Y 的信息来计算未知的 X 的信息。 它们是进行“代数追踪”的强大工具 。序列的正合性意味着信息在序列中以一种高度约束的方式流动。如果一个对象处的信息缺失，可以通过序列中相邻对象的信息来推断。 总结一下： 正合序列 是代数学中一个描述对象间精确关系的基本语言。 短正合序列 0→A→B→C→0 揭示了 B 是由 A 和 C 构建的扩张。 长正合序列 则将一系列对象串联起来，成为同调论、代数拓扑等领域中进行计算和证明的核心工具。