索末菲积分
索末菲积分是数学物理中一类重要的积分表示形式，通常用于解决波动传播、衍射和势理论等问题。它得名于物理学家阿诺德·索末菲，他在研究无线电波沿地球表面传播等问题时系统地使用了这类积分。
- 基本形式与来源
索末菲积分最常见的形式为：
\[ I = \int_{C} f(\lambda) \, H_{n}^{(1,2)}(k\rho \sinh \eta) \, e^{\pm i k z \cosh \eta} \, d\eta \]
或者与之等价的包含贝塞尔函数的路径积分形式：
\[ I = \int_{C} F(\lambda) \, J_{\nu}(\lambda \rho) \, e^{\pm i \sqrt{\lambda^2 - k^2} \, |z|} \, d\lambda \]
这里，\(J_{\nu}\) 是贝塞尔函数，\(H_{n}^{(1,2)}\) 是汉克尔函数，\(k\) 是波数，\((\rho, z)\) 是柱坐标系下的坐标。积分路径 \(C\) 在复平面上需要被精心选择，以确保积分的收敛性并满足问题的物理边界条件（如索末菲辐射条件）。这类积分通常源于对波动方程或亥姆霍兹方程使用积分变换（如傅里叶变换或汉克尔变换）进行求解的过程。
- 物理意义：柱面波展开
索末菲积分的一个核心物理诠释是“柱面波展开”。一个点源产生的球面波 \(e^{ikR}/R\)（其中 \(R = \sqrt{\rho^2 + z^2}\)）可以通过索末菲积分精确地表示为一系列柱面波的叠加：
\[ \frac{e^{ikR}}{R} = \frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} H_0^{(1)}(k\rho \sqrt{1 - t^2}) \, e^{ik z |t|} \, dt \]
或者等价的韦尔斯特拉斯积分表示：
\[ \frac{e^{ikR}}{R} = \frac{1}{\pi i} \int_{C} H_0^{(1)}(k\rho \sinh \eta) \, e^{i k z \cosh \eta} \, d\eta \]
这个表示说明，一个从原点向外传播的球面波，可以分解为无数个沿径向 \(\rho\) 方向呈柱面波（由汉克尔函数 \(H_0^{(1)}\) 描述）传播，同时沿轴向 \(z\) 方向呈指数振荡（由 \(e^{i k z \cosh \eta}\) 描述）的波的连续叠加。积分变量 \(\eta\) 或 \(t\) 参数化了这些柱面波的不同传播角度。
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积分路径与渐近分析
索末菲积分的解析特性和数值计算强烈依赖于积分路径 \(C\) 的选择。路径需要避开被积函数的奇点（如支点和极点）。索末菲的杰出贡献在于，他通过巧妙地变形积分路径（即索末菲-沃森变换），将原本难以计算的积分，转化为便于进行渐近分析的形式。当观察点距离源很远（即 \(kR \gg 1\)）时，可以利用最速下降法（或称鞍点法）来求积分的渐近值。鞍点对应于几何光学中的直接射线，而积分路径在变形过程中捕获的极点则对应于诸如侧面波或表面波等“非几何光学”的贡献。这使得索末菲积分成为研究复杂波传播现象（如衍射、隧穿）的强大工具。 -
典型应用：半空间问题
索末菲积分最经典的应用之一是求解半空间（如大地或理想导体）上方的点源辐射问题（即索末菲衍射理论的核心）。通过镜像法和并矢格林函数技术，总场可以表示为直接辐射场（球面波）和由边界反射产生的场的叠加。这个反射场恰好可以用索末菲积分精确表示。通过对该积分进行渐近分析，可以清晰地得到几何光学反射波、以及沿着边界传播并向上爬行的侧面波（或称“索末菲面波”）等不同成分，完美解释了实验观测。