谱映射定理 让我们从函数演算的角度来理解谱映射定理。假设你有一个复数域上的有界线性算子 T，定义在巴拿赫空间 X 上。它的谱 σ(T) 是复数平面上所有使得 (λI - T) 不可逆的 λ 的集合。 现在，考虑一个复变函数 f，它在包含 σ(T) 的一个开集上解析。我们可以通过柯西积分公式来定义一个新的算子 f(T)： f(T) = (1/(2πi)) ∮_ Γ f(ζ) (ζI - T)⁻¹ dζ， 其中 Γ 是围绕 σ(T) 的一条简单闭曲线。这个定义是函数演算的核心。 谱映射定理指出，对于这样定义的解析函数 f，算子 f(T) 的谱 σ(f(T)) 恰好等于函数 f 作用于原谱 σ(T) 的像集，即： σ(f(T)) = f(σ(T)) = { f(λ) ∈ C : λ ∈ σ(T) }。 为了理解这个等式的含义，我们来看一个关键步骤。假设 μ 不在 f(σ(T)) 中，这意味着对于所有 λ ∈ σ(T)，都有 f(λ) ≠ μ。那么函数 g(z) = 1/(f(z) - μ) 在 σ(T) 的一个邻域内是解析的。我们可以定义算子 g(T)，并且可以证明它正是 (f(T) - μI) 的逆算子。因此，μ 不属于 σ(f(T))。 反之，如果 μ ∈ f(σ(T))，比如 μ = f(λ₀) 且 λ₀ ∈ σ(T)，那么函数 h(z) = (f(z) - μ)/(z - λ₀) 在 λ₀ 处是可去奇点，从而在 σ(T) 的一个邻域内解析。如果 (f(T) - μI) 是可逆的，那么通过函数演算的代数同态性质，我们可以推导出 (λ₀ I - T) 也是可逆的，这与 λ₀ ∈ σ(T) 矛盾。因此，μ 必须属于 σ(f(T))。 谱映射定理的威力在于它将算子谱的复杂问题转化为复函数在谱集上的映射问题，这在对算子进行函数演算（如求指数算子 e^T 或平方根算子 √T）时至关重要，因为它清晰地揭示了结果算子的谱特性。