博雷尔-σ-代数
字数 2429 2025-11-01 14:23:01

博雷尔-σ-代数

我们从最基础的集合概念开始。设 \(X\) 是一个任意的非空集合。X 的幂集，记作 \(\mathcal{P}(X)\)，是指由 X 的所有子集构成的集合。

然而，当我们讨论“大小”或“体积”（即测度）时，幂集往往过于庞大，以至于我们无法为其所有子集都赋予一个“良好”的测度（这是测度论中的一个深刻问题）。因此，我们需要一种方法，指定 X 中哪些子集是“可测量”的。这就引出了 σ-代数 的概念。

一个集合 X 上的 σ-代数 \(\Sigma\) 是 X 的子集的一个集合（即 \(\Sigma \subset \mathcal{P}(X)\)），它满足以下三个性质：

  1. \(X \in \Sigma\)。（整个空间是可测的）
  2. 如果 \(A \in \Sigma\)，那么它的补集 \(A^c = X \setminus A \in \Sigma\)。（对补集运算封闭）
  3. 如果 \(A_1, A_2, A_3, \dots\) 是 \(\Sigma\) 中一列（可数多个）集合，那么它们的并集 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \Sigma\)。（对可数并运算封闭）

由性质1和2可知，空集 \(\emptyset\) 也在 \(\Sigma\) 中。由性质2、3以及德摩根定律可知，\(\Sigma\) 也对可数交运算封闭。

关键点：σ-代数定义了 X 上“可测集”的全体。一旦指定了一个 σ-代数，我们就称 \((X, \Sigma)\) 为一个可测空间。

现在，我们考虑一个非常重要的具体空间：拓扑空间。拓扑空间是指一个集合 X 配上了一个拓扑 \(\tau\)。拓扑 \(\tau\) 是 X 中满足特定条件（包含空集和全集、对任意并封闭、对有限交封闭）的一些子集构成的集合，这些子集被称为开集。

实数集 \(\mathbb{R}\) 配上其通常的（欧几里得）拓扑（开区间是其开集的基）就是一个最重要的拓扑空间的例子。

现在，我们面临一个问题：给定一个拓扑空间 (X, τ)，我们希望在上面定义一个测度（比如勒贝格测度），使得至少所有的开集和闭集都是可测的。那么，我们应该选择哪个 σ-代数来作为“可测集”的集合呢？

一个很自然的想法是：取包含所有开集（或等价地，所有闭集）的“最小”的 σ-代数。

定义：设 (X, τ) 是一个拓扑空间。由 X 中所有开集（或等价地，所有闭集）生成的 σ-代数，称为 X 上的 博雷尔-σ-代数，记作 \(\mathcal{B}(X)\)。

这里的“生成”是指：\(\mathcal{B}(X)\) 是包含拓扑 τ 中所有开集的最小的 σ-代数。更形式化地说：

\[\mathcal{B}(X) = \bigcap \{ \Sigma : \Sigma \text{ 是 } X \text{ 上的 } \sigma\text{-代数，且 } \tau \subset \Sigma \}. \]

这个交集是非空的，因为幂集 \(\mathcal{P}(X)\) 本身就是一个包含 τ 的 σ-代数。

关键点：博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 中的元素，称为 博雷尔集。

所以，博雷尔集就是：可以通过对开集（或闭集）进行可数次并、交、补运算得到的集合。

例子（在实数集 \(\mathbb{R}\) 上）：

  • 所有的开集（例如开区间 (a, b)）是博雷尔集。
  • 所有的闭集（例如闭区间 [a, b]）是博雷尔集，因为闭集是开集的补集。
  • 所有的可数集（例如整数集 \(\mathbb{Z}\)、有理数集 \(\mathbb{Q}\)）是博雷尔集。因为单点集 {x} 是闭集（它是闭区间 [x, x]），而可数集是可数多个单点集的并。
  • 所有的半开半闭区间（例如 [a, b), (a, b]）是博雷尔集，因为 [a, b) = [a, b] ∩ (a-1, b) 是闭集和开集的交。
  • \(F_\sigma\) 集（可数多个闭集的并）是博雷尔集。
  • \(G_\delta\) 集（可数多个开集的交）是博雷尔集。
  • 事实上，博雷尔集可以按照其构造的复杂性进行分层，这就是博雷尔分层的概念。

重要性：

  1. 测度论的基石：在定义测度（尤其是勒贝格测度）时，我们首先在更小的集合类（如区间）上定义，然后利用测度扩张定理（例如卡拉西奥多里定理）将其唯一地扩张到整个博雷尔-σ-代数上。勒贝格测度是定义在更大的勒贝格-σ-代数上的，而博雷尔-σ-代数是其真子集。
  2. 概率论的基础：在概率论中，样本空间 Ω 上的 σ-代数被称为“事件域”。当我们考虑取值为实数的随机变量时，我们要求对任意的博雷尔集 B，随机变量的原像 \(X^{-1}(B)\) 都是一个事件（即可测）。这被称为随机变量的可测性，等价于说随机变量是一个博雷尔可测映射。
  3. 函数论：一个函数 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是博雷尔可测函数，当且仅当对任意博雷尔集 B，其原像 \(f^{-1}(B)\) 是一个博雷尔集。由于实数轴上的博雷尔-σ-代数是由开区间生成的，可以证明，这等价于对任意实数 c，集合 \(\{x: f(x) > c\}\) 是博雷尔集。博雷尔可测函数是比勒贝格可测函数更基本的概念，因为它不依赖于具体的测度。

总结来说，博雷尔-σ-代数是连接拓扑（几何/连续性概念）和测度（大小/积分概念）的核心桥梁。它是由拓扑空间的开集族生成的最小的 σ-代数，其元素（博雷尔集）构成了我们通常进行测度和积分计算时最常用和最基本的可测集类。

博雷尔-σ-代数 我们从最基础的集合概念开始。设 \( X \) 是一个任意的非空集合。X 的 幂集 ，记作 \( \mathcal{P}(X) \)，是指由 X 的所有子集构成的集合。 然而，当我们讨论“大小”或“体积”（即测度）时，幂集往往过于庞大，以至于我们无法为其所有子集都赋予一个“良好”的测度（这是测度论中的一个深刻问题）。因此，我们需要一种方法，指定 X 中哪些子集是“可测量”的。这就引出了 σ-代数 的概念。 一个集合 X 上的 σ-代数 \( \Sigma \) 是 X 的子集的一个集合（即 \( \Sigma \subset \mathcal{P}(X) \)），它满足以下三个性质： \( X \in \Sigma \)。（整个空间是可测的） 如果 \( A \in \Sigma \)，那么它的补集 \( A^c = X \setminus A \in \Sigma \)。（对补集运算封闭） 如果 \( A_ 1, A_ 2, A_ 3, \dots \) 是 \( \Sigma \) 中一列（可数多个）集合，那么它们的并集 \( \bigcup_ {i=1}^{\infty} A_ i \in \Sigma \)。（对可数并运算封闭） 由性质1和2可知，空集 \( \emptyset \) 也在 \( \Sigma \) 中。由性质2、3以及德摩根定律可知，\( \Sigma \) 也对可数交运算封闭。 关键点 ：σ-代数定义了 X 上“可测集”的全体。一旦指定了一个 σ-代数，我们就称 \( (X, \Sigma) \) 为一个 可测空间 。 现在，我们考虑一个非常重要的具体空间： 拓扑空间 。拓扑空间是指一个集合 X 配上了一个 拓扑 \( \tau \)。拓扑 \( \tau \) 是 X 中满足特定条件（包含空集和全集、对任意并封闭、对有限交封闭）的一些子集构成的集合，这些子集被称为 开集 。 实数集 \( \mathbb{R} \) 配上其通常的（欧几里得）拓扑（开区间是其开集的基）就是一个最重要的拓扑空间的例子。 现在，我们面临一个问题：给定一个拓扑空间 (X, τ)，我们希望在上面定义一个测度（比如勒贝格测度），使得至少所有的开集和闭集都是可测的。那么，我们应该选择哪个 σ-代数来作为“可测集”的集合呢？ 一个很自然的想法是：取包含所有开集（或等价地，所有闭集）的“最小”的 σ-代数。 定义 ：设 (X, τ) 是一个拓扑空间。由 X 中所有开集（或等价地，所有闭集）生成的 σ-代数，称为 X 上的 博雷尔-σ-代数 ，记作 \( \mathcal{B}(X) \)。 这里的“生成”是指：\( \mathcal{B}(X) \) 是包含拓扑 τ 中所有开集的最小的 σ-代数。更形式化地说： \[ \mathcal{B}(X) = \bigcap \{ \Sigma : \Sigma \text{ 是 } X \text{ 上的 } \sigma\text{-代数，且 } \tau \subset \Sigma \}. \] 这个交集是非空的，因为幂集 \( \mathcal{P}(X) \) 本身就是一个包含 τ 的 σ-代数。 关键点 ：博雷尔-σ-代数 \( \mathcal{B}(X) \) 中的元素，称为 博雷尔集 。 所以，博雷尔集就是：可以通过对开集（或闭集）进行可数次并、交、补运算得到的集合。 例子 （在实数集 \( \mathbb{R} \) 上）： 所有的开集（例如开区间 (a, b)）是博雷尔集。 所有的闭集（例如闭区间 [ a, b ]）是博雷尔集，因为闭集是开集的补集。 所有的可数集（例如整数集 \( \mathbb{Z} \)、有理数集 \( \mathbb{Q} \)）是博雷尔集。因为单点集 {x} 是闭集（它是闭区间 [ x, x ]），而可数集是可数多个单点集的并。 所有的半开半闭区间（例如 [ a, b), (a, b]）是博雷尔集，因为 [ a, b) = [ a, b ] ∩ (a-1, b) 是闭集和开集的交。 \( F_ \sigma \) 集（可数多个闭集的并）是博雷尔集。 \( G_ \delta \) 集（可数多个开集的交）是博雷尔集。 事实上，博雷尔集可以按照其构造的复杂性进行分层，这就是 博雷尔分层 的概念。 重要性 ： 测度论的基石 ：在定义测度（尤其是勒贝格测度）时，我们首先在更小的集合类（如区间）上定义，然后利用测度扩张定理（例如卡拉西奥多里定理）将其唯一地扩张到整个博雷尔-σ-代数上。勒贝格测度是定义在更大的勒贝格-σ-代数上的，而博雷尔-σ-代数是其真子集。 概率论的基础 ：在概率论中，样本空间 Ω 上的 σ-代数被称为“事件域”。当我们考虑取值为实数的随机变量时，我们要求对任意的博雷尔集 B，随机变量的原像 \( X^{-1}(B) \) 都是一个事件（即可测）。这被称为随机变量的可测性，等价于说随机变量是一个 博雷尔可测映射 。 函数论 ：一个函数 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 是 博雷尔可测函数 ，当且仅当对任意博雷尔集 B，其原像 \( f^{-1}(B) \) 是一个博雷尔集。由于实数轴上的博雷尔-σ-代数是由开区间生成的，可以证明，这等价于对任意实数 c，集合 \( \{x: f(x) > c\} \) 是博雷尔集。博雷尔可测函数是比勒贝格可测函数更基本的概念，因为它不依赖于具体的测度。 总结来说， 博雷尔-σ-代数 是连接拓扑（几何/连续性概念）和测度（大小/积分概念）的核心桥梁。它是由拓扑空间的开集族生成的最小的 σ-代数，其元素（博雷尔集）构成了我们通常进行测度和积分计算时最常用和最基本的可测集类。