模形式的自守表示与朗兰兹纲领 背景与动机 模形式是复平面上的全纯函数，具有高度的对称性，即对模群 \( SL(2, \mathbb{Z}) \) 或其同余子群的作用满足特定函数方程。例如，权为 \( k \) 的模形式 \( f \) 满足： \[ f\left( \frac{az+b}{cz+d} \right) = (cz+d)^k f(z), \quad \forall \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2, \mathbb{Z}). \] 20世纪中叶，数学家发现模形式与数论问题（如素数分布、二次型表示数）存在深刻联系，但缺乏统一的理论框架解释这些现象。 自守表示的概念 自守表示是李群表示论中的核心对象，它将模形式视为某种对称空间的函数。具体地： 将模群 \( SL(2, \mathbb{Z}) \) 推广为更一般的约化代数群（如 \( GL(n) \)）。 模形式可嵌入到 \( GL(2, \mathbb{R}) \) 的某个不可约表示中，称为自守表示。 这一过程通过“强对角化”（强逼近定理）实现，将模形式的对称性转化为群作用的线性性。 朗兰兹纲领的提出 朗兰兹在1967年提出一个宏伟猜想：任何自守表示均与伽罗瓦群的表示存在对应。具体而言： 设 \( G \) 为约化代数群，\( \mathbb{A} \) 为有理数域 \( \mathbb{Q} \) 的阿代尔环。 \( G(\mathbb{A}) \) 的不可约自守表示应对应于伽罗瓦群 \( \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \) 的 \( n \) 维表示。 这一对应需保持 L 函数的函数方程，即自守表示的 L 函数等于伽罗瓦表示的 Artin L 函数。 示例：模形式与椭圆曲线 模形式与伽罗瓦表示的联系在谷山-志村定理中体现： 有理数域上的椭圆曲线对应一个权为 2 的模形式。 椭圆曲线的哈塞-韦伊 L 函数等于对应模形式的 L 函数。 这为费马大定理的证明提供了关键桥梁，展示了朗兰兹纲领在具体问题中的威力。 现代进展与推广 朗兰兹纲领现已扩展为“函子性猜想”，包含： 局部朗兰兹对应 ：对局部域（如 \( \mathbb{Q}_ p \)）建立自守表示与伽罗瓦表示的等价。 几何朗兰兹纲领 ：通过几何表示论，将数域上的理论推广到函数域。 p-进霍奇理论 ：用 p-进上同调连接自守表示与伽罗瓦表示的几何结构。 意义与未解决问题 朗兰兹纲领统一了数论、代数几何和表示论，但核心猜想仍未被完全证明。例如： 对于 \( GL(n) \) 当 \( n>2 \) 的函子性转移尚未解决。 p-进朗兰兹对应在非阿基米德局部域中的构造仍需深入探索。