生物数学中的相空间重构

相空间重构是从单一时间序列数据重建动态系统拓扑结构的技术，用于分析非线性生物系统的内在动力学。

1. 基本概念
   相空间是描述系统所有可能状态的数学空间，每个状态对应空间中的一个点。对于n变量系统，相空间是n维的。但在实验中通常只能观测单个变量（如心率、神经信号），相空间重构通过时延嵌入法重建等效相空间。

2. 时延嵌入定理
   Takens定理指出：若原始系统有d维流形，只需选择合适的时间延迟τ和嵌入维数m（m≥2d+1），即可通过观测值x(t)构造向量：

\[ X(t) = [x(t), x(t+\tau), x(t+2\tau), ..., x(t+(m-1)\tau)] \]

重构的相空间与原始系统微分同胚，保留拓扑性质（如吸引子结构）。

3. 参数选择方法

   • 时间延迟τ：常用自相关函数首次过零值或互信息最小化确定，避免信息冗余或过度拉伸。
   • 嵌入维数m：采用虚假最近邻法，逐步增加m直至虚假邻点比例低于阈值，确保轨迹无交叉。

4. 生物应用示例

   • 脑电图分析：从EEG信号重构神经动力学吸引子，量化癫痫发作前的维度降低。
   • 生态动态：通过种群数量时间序列重构吸引子，区分确定性混沌与随机波动（如猞猁毛皮收购数据）。

5. 扩展与局限
   可结合主成分分析降噪，或用于计算最大李雅普诺夫指数（预测能力度量）。但需注意：噪声敏感、要求数据量大，且仅适用于确定性主导的系统。