二次型的自守形式 我们先从二次型与模形式的联系开始。一个整系数二次型 \( Q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \) 可以生成一个 theta 级数： \[ \theta_ Q(z) = \sum_ {(m,n) \in \mathbb{Z}^2} e^{2\pi i Q(m,n) z} = \sum_ {n \geq 0} r_ Q(n) e^{2\pi i n z} \] 其中 \( r_ Q(n) \) 是二次型 \( Q \) 表示整数 \( n \) 的个数（解的个数）。当 \( Q \) 是正定二次型时，\( \theta_ Q(z) \) 是上半平面 \( \mathbb{H} \) 上的全纯函数。 这个 theta 级数在模群 \( SL_ 2(\mathbb{Z}) \) 或同余子群下具有变换性质。例如，对 \( \gamma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)，有： \[ \theta_ Q(-1/z) = \epsilon z \theta_ Q(z) \] 其中 \( \epsilon \) 是与二次型判别式相关的根。这表明 \( \theta_ Q(z) \) 是权为 \( k = 1 \) 的模形式（可能需要乘以适当的因子使其全纯）。 更一般地，二次型的 theta 级数是模形式的一种具体实现，它将二次型的算术性质（如表示数 \( r_ Q(n) \)）编码为模形式的傅里叶系数。模形式的 Hecke 算子作用在 theta 级数上，对应着二次型的“复合”操作，这反映了二次型类群的结构。 进一步，每个二次型对应一个自守形式（可能是尖点形式或艾森斯坦级数），其 L 函数与二次域的 Dedekind zeta 函数或二次特征的 Dirichlet L 函数相关。这种联系是朗兰兹纲领在 \( GL(2) \) 情形下的特例，展现了二次型与模形式之间的深刻对应。