二次域的单位群结构
字数 2297 2025-11-01 09:19:31

二次域的单位群结构

我们从二次域的基本概念开始。二次域是形如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 的数域，其中 \(d\) 是无平方因子的整数。其代数整数环 \(\mathcal{O}_K\) 的元素可写为 \(a + b\omega\)，其中：

  • 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2}\)；
  • 若 \(d \equiv 2,3 \pmod{4}\)，则 \(\omega = \sqrt{d}\)。

单位群 \(\mathcal{O}_K^\times\) 由可逆元素组成，即满足 \(N(\alpha) = \pm 1\) 的 \(\alpha \in \mathcal{O}_K\)，其中 \(N(a+b\omega) = (a+b\omega)(a+b\overline{\omega})\) 是范数映射。

1. 实二次域与虚二次域的分类

  • 若 \(d > 0\)，则 \(K\) 是实二次域，单位群是无限群。
  • 若 \(d < 0\)，则 \(K\) 是虚二次域，单位群是有限循环群，仅由单位根组成（例如 \(\pm1, \pm i, \pm \zeta_3\) 等）。

2. 虚二次域的单位群
单位群的大小由 \(d\) 决定：

  • \(d = -1\)：单位群为 \(\{ \pm1, \pm i \} \cong C_4\)。
  • \(d = -3\)：单位群为 \(\{ \pm1, \pm \zeta_3, \pm \zeta_3^2 \} \cong C_6\)（\(\zeta_3 = e^{2\pi i/3}\)）。
  • 其他 \(d < 0\)：单位群仅为 \(\{ \pm1 \} \cong C_2\)。

原因：范数方程 \(N(\alpha) = 1\) 在 \(d < -3\) 时只有平凡解。

3. 实二次域的单位群基本定理（狄利克雷单位定理特例）
实二次域的单位群同构于 \(\{ \pm1 \} \times \mathbb{Z}\)。存在一个基本单位 \(\varepsilon > 1\)，使得任意单位可写为 \(\pm \varepsilon^k\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

4. 基本单位的计算与佩尔方程
寻找 \(\varepsilon\) 等价于解佩尔方程 \(x^2 - d y^2 = \pm 1\)：

  • 若 \(d \equiv 2,3 \pmod{4}\)，方程形式为 \(x^2 - d y^2 = \pm 1\)。
  • 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，方程为 \(x^2 - d y^2 = \pm 4\)（通过变量替换可化归）。

例如 \(d=2\) 时，佩尔方程 \(x^2 - 2y^2 = \pm 1\) 的最小解为 \((1,1)\)，对应单位 \(1+\sqrt{2}\)。

5. 连分数法与基本单位的性质
实二次域的基本单位可通过 \(\sqrt{d}\) 的连分数展开得到：

  • \(\sqrt{d}\) 的连分数展开是周期性的，周期长度记为 \(l\)。
  • 若 \(l\) 为偶数，最小解对应 \(x^2 - d y^2 = 1\)。
  • 若 \(l\) 为奇数，最小解对应 \(x^2 - d y^2 = -1\)，此时基本单位是 \(\varepsilon = x + y\sqrt{d}\)（满足 \(N(\varepsilon) = -1\)），而 \(\varepsilon^2\) 是范数为 1 的最小单位。

6. 单位群的范数特征
记 \(\mathcal{O}_K^{+ \times}\) 为范数为 1 的单位子群：

  • 若存在单位 \(\eta\) 满足 \(N(\eta) = -1\)，则 \(\mathcal{O}_K^\times \cong \{ \pm1 \} \times \langle \eta \rangle\)。
  • 若不存在此类单位，则 \(\mathcal{O}_K^\times = \mathcal{O}_K^{+ \times} \cong \{ \pm1 \} \times \langle \varepsilon \rangle\)，且 \(N(\varepsilon) = 1\)。

例如 \(d=3\) 时，单位 \(2+\sqrt{3}\) 的范数为 1，不存在范数为 -1 的单位。

7. 与类数的关系
单位群的大小通过解析类数公式与类数 \(h_K\) 关联：

\[h_K = \frac{\sqrt{|d_K|}}{2^{r_1} (2\pi)^{r_2} R_K} \lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s), \]

其中 \(R_K\) 是调节子，定义为基本单位生成格的“密度”。对实二次域，\(R_K = \log \varepsilon\)。

总结：二次域的单位群结构完全由 \(d\) 的符号和取值决定，实二次域的情形与佩尔方程紧密相连，而虚二次域仅有有限单位。这一结构是理解二次域算术性质的基础。

二次域的单位群结构 我们从二次域的基本概念开始。二次域是形如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) 的数域，其中 \( d \) 是无平方因子的整数。其代数整数环 \( \mathcal{O}_ K \) 的元素可写为 \( a + b\omega \)，其中： 若 \( d \equiv 1 \pmod{4} \)，则 \( \omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2} \)； 若 \( d \equiv 2,3 \pmod{4} \)，则 \( \omega = \sqrt{d} \)。 单位群 \( \mathcal{O}_ K^\times \) 由可逆元素组成，即满足 \( N(\alpha) = \pm 1 \) 的 \( \alpha \in \mathcal{O}_ K \)，其中 \( N(a+b\omega) = (a+b\omega)(a+b\overline{\omega}) \) 是范数映射。 1. 实二次域与虚二次域的分类 若 \( d > 0 \)，则 \( K \) 是实二次域，单位群是无限群。 若 \( d < 0 \)，则 \( K \) 是虚二次域，单位群是有限循环群，仅由单位根组成（例如 \( \pm1, \pm i, \pm \zeta_ 3 \) 等）。 2. 虚二次域的单位群 单位群的大小由 \( d \) 决定： \( d = -1 \)：单位群为 \( \{ \pm1, \pm i \} \cong C_ 4 \)。 \( d = -3 \)：单位群为 \( \{ \pm1, \pm \zeta_ 3, \pm \zeta_ 3^2 \} \cong C_ 6 \)（\( \zeta_ 3 = e^{2\pi i/3} \)）。 其他 \( d < 0 \)：单位群仅为 \( \{ \pm1 \} \cong C_ 2 \)。 原因：范数方程 \( N(\alpha) = 1 \) 在 \( d < -3 \) 时只有平凡解。 3. 实二次域的单位群基本定理（狄利克雷单位定理特例） 实二次域的单位群同构于 \( \{ \pm1 \} \times \mathbb{Z} \)。存在一个基本单位 \( \varepsilon > 1 \)，使得任意单位可写为 \( \pm \varepsilon^k \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）。 4. 基本单位的计算与佩尔方程 寻找 \( \varepsilon \) 等价于解佩尔方程 \( x^2 - d y^2 = \pm 1 \)： 若 \( d \equiv 2,3 \pmod{4} \)，方程形式为 \( x^2 - d y^2 = \pm 1 \)。 若 \( d \equiv 1 \pmod{4} \)，方程为 \( x^2 - d y^2 = \pm 4 \)（通过变量替换可化归）。 例如 \( d=2 \) 时，佩尔方程 \( x^2 - 2y^2 = \pm 1 \) 的最小解为 \( (1,1) \)，对应单位 \( 1+\sqrt{2} \)。 5. 连分数法与基本单位的性质 实二次域的基本单位可通过 \( \sqrt{d} \) 的连分数展开得到： \( \sqrt{d} \) 的连分数展开是周期性的，周期长度记为 \( l \)。 若 \( l \) 为偶数，最小解对应 \( x^2 - d y^2 = 1 \)。 若 \( l \) 为奇数，最小解对应 \( x^2 - d y^2 = -1 \)，此时基本单位是 \( \varepsilon = x + y\sqrt{d} \)（满足 \( N(\varepsilon) = -1 \)），而 \( \varepsilon^2 \) 是范数为 1 的最小单位。 6. 单位群的范数特征 记 \( \mathcal{O}_ K^{+ \times} \) 为范数为 1 的单位子群： 若存在单位 \( \eta \) 满足 \( N(\eta) = -1 \)，则 \( \mathcal{O}_ K^\times \cong \{ \pm1 \} \times \langle \eta \rangle \)。 若不存在此类单位，则 \( \mathcal{O}_ K^\times = \mathcal{O}_ K^{+ \times} \cong \{ \pm1 \} \times \langle \varepsilon \rangle \)，且 \( N(\varepsilon) = 1 \)。 例如 \( d=3 \) 时，单位 \( 2+\sqrt{3} \) 的范数为 1，不存在范数为 -1 的单位。 7. 与类数的关系 单位群的大小通过解析类数公式与类数 \( h_ K \) 关联： \[ h_ K = \frac{\sqrt{|d_ K|}}{2^{r_ 1} (2\pi)^{r_ 2} R_ K} \lim_ {s \to 1} (s-1) \zeta_ K(s), \] 其中 \( R_ K \) 是调节子，定义为基本单位生成格的“密度”。对实二次域，\( R_ K = \log \varepsilon \)。 总结 ：二次域的单位群结构完全由 \( d \) 的符号和取值决定，实二次域的情形与佩尔方程紧密相连，而虚二次域仅有有限单位。这一结构是理解二次域算术性质的基础。