二次域的类数公式

字数 2738 2025-11-01 09:19:31

二次域的类数公式

我们从二次域的基本概念开始。设$d$是一个不等于1的无平方因子的整数。那么，二次域$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$是所有形如$a + b\sqrt{d}$（其中$a, b \in \mathbb{Q}$）的数构成的集合。这个域有一个重要的数值不变量，称为类数，记作$h_K$。类数衡量了该域中理想类群的“大小”，具体来说，它等于理想类群中元素的个数。如果$h_K = 1$，则意味着该域是主理想整环，其整数环具有唯一因子分解性质。

为了计算类数，我们有一个强大的工具，即类数公式。对于二次域，类数公式将其类数与一个特殊的L函数在$s=1$处的值联系起来。

第一步：狄利克雷L函数

首先，我们需要定义一个与二次域相关的狄利克雷特征$\chi$。我们使用克罗内克符号（Kronecker symbol）$\chi(n) = \left(\frac{d}{n}\right)$。这个函数是模$|D|$的狄利克雷特征，其中$D$是二次域$K$的判别式。判别式$D$定义为：

如果$d \equiv 1 \pmod{4}$，则$D = d$。
如果$d \equiv 2, 3 \pmod{4}$，则$D = 4d$。

与这个特征$\chi$相关联的狄利克雷L函数定义为：

\[L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}, \quad \text{对于 } \operatorname{Re}(s) > 1. \]

这个级数在$\operatorname{Re}(s) > 1$时绝对收敛。

第二步：类数公式的解析形式

类数公式的核心结果是：

\[L(1, \chi) = \frac{2\pi h_K}{w_K \sqrt{|D|}} \quad \text{如果 } D < 0 \text{（虚二次域）}, \]

\[ L(1, \chi) = \frac{h_K \log(\epsilon_K) R_K}{\sqrt{D}}} \quad \text{如果 } D > 0 \text{（实二次域）}. \]

让我们解释一下这些符号：

$h_K$：就是我们要求的类数。
$w_K$：是$K$中单位根的个数。对于虚二次域，$w_K = 2$（当$d < -1$），$w_K = 4$（当$d = -1$，即高斯整数），$w_K = 6$（当$d = -3$）。对于实二次域，$w_K = 2$（即$\pm 1$）。
$\epsilon_K$：是实二次域$K$的基本单位（即大于1的最小单位）。
$R_K$：是实二次域$K$的调节子（regulator），对于二次域而言，$R_K = \log(\epsilon_K)$。

这个公式的意义在于，它将一个纯粹的代数不变量（类数$h_K$）与一个解析对象（L函数在$s=1$的值$L(1, \chi)$）联系了起来。

第三步：计算$L(1, \chi)$

由于$L(1, \chi)$是类数公式的关键，我们需要有效的方法来计算它。一种基本的方法是利用L函数的级数表示，但直接求和收敛较慢。更有效的方法是使用其闭合形式。

对于基本的二次特征（即当$D$是基本判别式时），$L(1, \chi)$有经典的闭合表达式：

如果$D < 0$（虚二次域），有

\[ L(1, \chi) = -\frac{\pi}{D^{3/2}} \sum_{n=1}^{|D|} n \chi(n). \]

更常见的是等价的类数公式形式：

\[ h_K = -\frac{w_K}{2|D|} \sum_{n=1}^{|D|} n \chi(n). \]

如果$D > 0$（实二次域），有

\[ L(1, \chi) = -\frac{1}{\sqrt{D}} \sum_{n=1}^{D} \chi(n) \log \left|2 \sin \left( \frac{\pi n}{D} \right) \right|. \]

或者，更常用的是与连分数的关系：

\[ L(1, \chi) = \frac{-1}{\log \epsilon_K} \sum_{n=1}^{D-1} \chi(n) \log \sin \left( \frac{\pi n}{D} \right). \]

第四步：一个具体例子——高斯整数域$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$

让我们计算一个简单例子来应用类数公式。

域：$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，所以$d = -1$。
判别式：因为$-1 \equiv 3 \pmod{4}$，所以$D = 4d = -4$。
狄利克雷特征：$\chi(n) = \left(\frac{-4}{n}\right)$。这是一个模4的特征，具体为：$\chi(n) = 0$若$n$为偶数；$\chi(1) = 1$；$\chi(3) = -1$。
单位根个数：$w_K = 4$（单位根为$\pm 1, \pm i$）。
应用类数公式（虚二次域）：

\[ L(1, \chi) = \frac{2\pi h_K}{w_K \sqrt{|D|}} = \frac{2\pi h_K}{4 \times 2} = \frac{\pi h_K}{4}. \]

计算$L(1, \chi)$：

\[ L(1, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n} = \frac{\chi(1)}{1} + \frac{\chi(3)}{3} + \frac{\chi(5)}{5} + \frac{\chi(7)}{7} + \cdots = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots. \]

这个著名的莱布尼茨级数等于$\pi/4$。
7. 代入公式：$\pi/4 = (\pi h_K)/4$，解得$h_K = 1$。

这个结果符合已知事实：高斯整数环$\mathbb{Z}[i]$是主理想整环，其类数为1。

总结

二次域的类数公式是一个深刻的定理，它架起了代数和解析数论之间的桥梁。通过计算一个相对容易处理的L函数值，我们可以确定一个二次域的理想类群的大小，从而判断它是否具有唯一因子分解性质。这个公式是研究数论中许多问题的起点，例如哪些虚二次域是主理想整环（类数为1），以及实二次域的基本单位的分布等。

二次域的类数公式我们从二次域的基本概念开始。设$d$是一个不等于1的无平方因子的整数。那么，二次域$K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$是所有形如$a + b\sqrt{d}$（其中$a, b \in \mathbb{Q}$）的数构成的集合。这个域有一个重要的数值不变量，称为类数，记作$h_ K$。类数衡量了该域中理想类群的“大小”，具体来说，它等于理想类群中元素的个数。如果$h_ K = 1$，则意味着该域是主理想整环，其整数环具有唯一因子分解性质。为了计算类数，我们有一个强大的工具，即类数公式。对于二次域，类数公式将其类数与一个特殊的L函数在$s=1$处的值联系起来。第一步：狄利克雷L函数首先，我们需要定义一个与二次域相关的狄利克雷特征$\chi$。我们使用克罗内克符号（Kronecker symbol）$\chi(n) = \left(\frac{d}{n}\right)$。这个函数是模$|D|$的狄利克雷特征，其中$D$是二次域$K$的判别式。判别式$D$定义为：如果$d \equiv 1 \pmod{4}$，则$D = d$。如果$d \equiv 2, 3 \pmod{4}$，则$D = 4d$。与这个特征$\chi$相关联的狄利克雷L函数定义为： $$ L(s, \chi) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}, \quad \text{对于 } \operatorname{Re}(s) > 1. $$ 这个级数在$\operatorname{Re}(s) > 1$时绝对收敛。第二步：类数公式的解析形式类数公式的核心结果是： $$ L(1, \chi) = \frac{2\pi h_ K}{w_ K \sqrt{|D|}} \quad \text{如果 } D < 0 \text{（虚二次域）}, $$ $$ L(1, \chi) = \frac{h_ K \log(\epsilon_ K) R_ K}{\sqrt{D}}} \quad \text{如果 } D > 0 \text{（实二次域）}. $$ 让我们解释一下这些符号： $h_ K$：就是我们要求的类数。 $w_ K$：是$K$中单位根的个数。对于虚二次域，$w_ K = 2$（当$d < -1$），$w_ K = 4$（当$d = -1$，即高斯整数），$w_ K = 6$（当$d = -3$）。对于实二次域，$w_ K = 2$（即$\pm 1$）。 $\epsilon_ K$：是实二次域$K$的基本单位（即大于1的最小单位）。 $R_ K$：是实二次域$K$的调节子（regulator），对于二次域而言，$R_ K = \log(\epsilon_ K)$。这个公式的意义在于，它将一个纯粹的代数不变量（类数$h_ K$）与一个解析对象（L函数在$s=1$的值$L(1, \chi)$）联系了起来。第三步：计算$L(1, \chi)$ 由于$L(1, \chi)$是类数公式的关键，我们需要有效的方法来计算它。一种基本的方法是利用L函数的级数表示，但直接求和收敛较慢。更有效的方法是使用其闭合形式。对于基本的二次特征（即当$D$是基本判别式时），$L(1, \chi)$有经典的闭合表达式：如果$D < 0$（虚二次域），有 $$ L(1, \chi) = -\frac{\pi}{D^{3/2}} \sum_ {n=1}^{|D|} n \chi(n). $$ 更常见的是等价的类数公式形式： $$ h_ K = -\frac{w_ K}{2|D|} \sum_ {n=1}^{|D|} n \chi(n). $$ 如果$D > 0$（实二次域），有 $$ L(1, \chi) = -\frac{1}{\sqrt{D}} \sum_ {n=1}^{D} \chi(n) \log \left|2 \sin \left( \frac{\pi n}{D} \right) \right|. $$ 或者，更常用的是与连分数的关系： $$ L(1, \chi) = \frac{-1}{\log \epsilon_ K} \sum_ {n=1}^{D-1} \chi(n) \log \sin \left( \frac{\pi n}{D} \right). $$ 第四步：一个具体例子——高斯整数域$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 让我们计算一个简单例子来应用类数公式。域：$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，所以$d = -1$。判别式：因为$-1 \equiv 3 \pmod{4}$，所以$D = 4d = -4$。狄利克雷特征：$\chi(n) = \left(\frac{-4}{n}\right)$。这是一个模4的特征，具体为：$\chi(n) = 0$若$n$为偶数；$\chi(1) = 1$；$\chi(3) = -1$。单位根个数：$w_ K = 4$（单位根为$\pm 1, \pm i$）。应用类数公式（虚二次域）： $$ L(1, \chi) = \frac{2\pi h_ K}{w_ K \sqrt{|D|}} = \frac{2\pi h_ K}{4 \times 2} = \frac{\pi h_ K}{4}. $$ 计算$L(1, \chi)$： $$ L(1, \chi) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n} = \frac{\chi(1)}{1} + \frac{\chi(3)}{3} + \frac{\chi(5)}{5} + \frac{\chi(7)}{7} + \cdots = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots. $$ 这个著名的莱布尼茨级数等于$\pi/4$。代入公式：$\pi/4 = (\pi h_ K)/4$，解得$h_ K = 1$。这个结果符合已知事实：高斯整数环$\mathbb{Z}[ i ]$是主理想整环，其类数为1。总结二次域的类数公式是一个深刻的定理，它架起了代数和解析数论之间的桥梁。通过计算一个相对容易处理的L函数值，我们可以确定一个二次域的理想类群的大小，从而判断它是否具有唯一因子分解性质。这个公式是研究数论中许多问题的起点，例如哪些虚二次域是主理想整环（类数为1），以及实二次域的基本单位的分布等。