哈恩分解定理 哈恩分解定理是符号测度理论中的一个基本结果，它描述了如何将一个符号测度（即可以取负值的测度）分解为其正部和负部所支撑的两个互不相交的可测集。 第一步：理解符号测度 首先，我们需要明确什么是符号测度。一个符号测度 ν 定义在一个可测空间 (X, Σ) 上，它是一个从 Σ 映射到扩展实数 [ -∞, +∞ ] 的集函数，满足： ν(∅) = 0。 可数可加性：对于任意一列两两不交的可测集 {Eₙ}，有 ν(∪ₙ Eₙ) = Σₙ ν(Eₙ)。 与普通测度不同，符号测度允许取负值，但不能同时取 +∞ 和 -∞。 第二步：正集、负集与零集的概念 对于一个符号测度 ν，我们可以定义三类特殊的集合： 正集 ：一个可测集 P 称为关于 ν 的正集，如果对于每一个可测子集 E ⊆ P，都有 ν(E) ≥ 0。这意味着集合 P 的任意可测部分都“携带”非负的测度。 负集 ：一个可测集 N 称为关于 ν 的负集，如果对于每一个可测子集 E ⊆ N，都有 ν(E) ≤ 0。 零集 ：一个可测集 Z 称为关于 ν 的零集，如果对于每一个可测子集 E ⊆ Z，都有 ν(E) = 0。显然，零集既是正集也是负集。 第三步：哈恩分解定理的表述 哈恩分解定理指出：设 ν 是可测空间 (X, Σ) 上的一个符号测度，则存在一个正集 P 和一个负集 N，使得： X = P ∪ N。 P ∩ N = ∅。 这样的一个配对 (P, N) 称为 ν 的一个哈恩分解。 第四步：理解分解的含义与唯一性 这个分解意味着，我们可以将整个空间 X 划分为两个互不相交的部分： 一部分（P）完全由 ν 的“正能量”支撑，在其内部 ν 的表现就像一个普通的非负测度。 另一部分（N）完全由 ν 的“负能量”支撑。 这种分解不是绝对唯一的。如果 (P, N) 是一个哈恩分解，那么通过添加或移除一个零集（例如，将 P 中的一个零集移到 N 中，或者反过来），可以得到另一个哈恩分解。因此，哈恩分解在“差一个零集”的意义下是唯一的。 第五步：与若尔当分解的联系 哈恩分解定理是若尔当分解定理的直接基础。一旦我们得到了一个哈恩分解 (P, N)，我们就可以定义两个（非负）测度： 正变差 ：ν⁺(E) = ν(E ∩ P) 负变差 ：ν⁻(E) = -ν(E ∩ N) 全变差 ：|ν|(E) = ν⁺(E) + ν⁻(E) 那么，原符号测度 ν 就可以表示为 ν = ν⁺ - ν⁻。这个分解称为若尔当分解。因此，哈恩分解从集合的角度“定位”了正负部分，而若尔当分解则从测度的角度将其量化。 第六步：总结与应用 哈恩分解定理的核心思想是：任何符号测度所定义的“空间”都可以被清晰地划分为正区域和负区域。这个结果是证明更复杂的定理（如拉东-尼科迪姆定理）的关键步骤，并且在泛函分析、概率论以及偏微分方程理论中都有重要应用，它为处理带有“符号”的积分和测度提供了基本的几何结构。