勒贝格-斯蒂尔杰斯测度

字数 2374 2025-11-01 09:19:32

勒贝格-斯蒂尔杰斯测度

好的，我们开始学习“勒贝格-斯蒂尔杰斯测度”。这个概念是勒贝格测度的推广，在概率论、泛函分析等领域有非常重要的应用。

第一步：理解推广的动机——从“长度”到“质量分布”

回顾勒贝格测度：我们已知勒贝格测度是欧几里得空间中长度、面积、体积等概念的精密推广。对于一个区间 (a, b]，其勒贝格测度就是它的长度 b - a。它是一种“均匀”的度量，每个单位长度都具有相同的“权重”。
引入新需求：想象一下，一根密度不均匀的金属棒。测量它的长度（勒贝格测度）是不够的，我们更关心它的质量分布。例如，区间 (0, 1] 的质量可能不等于区间 (2, 3] 的质量，即便它们的长度相同。我们需要一种能刻画这种“非均匀分布”的度量工具。
生成函数：为了描述这种分布，我们引入一个单调递增的右连续函数 F(x)。这个函数 F 通常被称为分布函数。
- 物理意义：对于整个实数轴，F(x) 可以解释为分布在区间 (-∞, x] 上的总质量。
- 概率意义：在概率论中，F(x) 就是累积分布函数，表示随机变量 X 取值小于等于 x 的概率，即 P(X ≤ x)。
- 右连续性：要求 F 右连续是为了保证测度构造的相容性。当点 x 从右侧趋近时，区间的质量会平滑地趋于该点的质量。

第二步：定义区间上的测度——从函数 `F` 出发

基本思想：我们仿照勒贝格测度从区间长度开始构造的方法，但不再使用标准的长度，而是使用函数 F 的增量来定义“广义长度”。
区间的测度：对于一个左开右闭的区间 (a, b]，我们定义其对应的测度为：
μ_F((a, b]) = F(b) - F(a)
这个定义非常直观：区间 (a, b] 的“质量”就是分布函数 F 在 b 点的值与在 a 点的值之差。
例子：
- 如果 F(x) = x（恒等函数），那么 μ_F((a, b]) = b - a，这就退化成了我们熟悉的勒贝格测度。
- 如果 F(x) 是一个阶梯函数，在点 c 处有一个跳跃，跳跃高度为 h，那么 μ_F 在点 c 处赋予了一个点质量为 h，而区间内部没有质量。这正是离散分布的模型。
- 如果 F(x) 是连续可微的，那么 μ_F 在区间 (a, b] 上的质量可以表示为 ∫_a^b F'(x) dx，其中 F'(x) 可以理解为质量密度函数。

第三步：构造完整的测度——卡拉西奥多里延拓定理的应用

外测度的定义：与勒贝格测度的构造完全平行，我们首先定义勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度。对于实数集的任意子集 A，我们考虑 A 的所有可数开区间覆盖 ∪I_k，并定义外测度为：
μ_F*(A) = inf { Σ_k [F(b_k) - F(a_k)] }
其中下确界取遍所有覆盖 A 的可数个左开右闭区间 I_k = (a_k, b_k] 的集合。这个定义的核心思想是用 F 的增量之和来逼近 A 的“总质量”。
可测集：然后，我们运用卡拉西奥多里条件来定义可测集。一个集合 E 是 μ_F-可测的，如果对于任意测试集 A，都有：
μ_F*(A) = μ_F*(A ∩ E) + μ_F*(A \ E)
所有 μ_F-可测集构成的集族构成一个 σ-代数。
测度的完成：通过上述过程，我们在该 σ-代数上得到了一个完备的测度，这就是勒贝格-斯蒂尔杰斯测度，记为 μ_F。它是由分布函数 F 唯一决定的。

第四步：关键性质与特殊情形

支撑：测度 μ_F 的“支撑”是指这样一个最小的闭集，其补集的测度为零。支撑描述了质量集中分布的区域。例如，对于阶梯函数生成的测度，其支撑就是那些跳跃点构成的集合。
绝对连续性与奇异性：
- 绝对连续：如果存在一个非负的可积函数 f（密度函数），使得对于所有 x，有 F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt，那么 μ_F 关于勒贝格测度是绝对连续的。此时，μ_F(E) = ∫_E f(x) dx。
- 奇异连续：存在这样的 F，它是连续的，但它的增长几乎全部集中在一个勒贝格测度为零的集合上（如康托尔函数）。对应的测度 μ_F 就是奇异连续测度。
- 分解定理：任意分布函数 F 都可以唯一地分解为一个绝对连续函数、一个奇异连续函数和一个跳跃函数之和。相应地，其生成的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 μ_F 也可以唯一地分解为绝对连续、奇异连续和离散三部分。

第五步：积分——勒贝格-斯蒂尔杰斯积分

定义：基于测度 μ_F，我们可以定义关于该测度的积分，称为关于 F 的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。对于一个可测函数 g，其积分记为：
∫ g dF 或 ∫ g(x) dF(x)
这个记号强调积分依赖于分布函数 F。
与黎曼-斯蒂尔杰斯积分的关系：当 g 连续且 F 是单调函数时，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与经典的黎曼-斯蒂尔杰斯积分相等。但勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的适用范围更广，对函数 g 的要求更低（只需可测），并且拥有勒贝格积分理论的所有强大工具（如控制收敛定理等）。
概率论中的应用：在概率论中，随机变量 X 的期望值正是函数 g(x) = x 关于其分布函数 F 的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分：
E[X] = ∫ x dF(x)

总结来说，勒贝格-斯蒂尔杰斯测度通过一个分布函数 F，将均匀的“长度”度量推广到了非均匀的“质量”度量。其构造过程是测度论标准方法的典范应用，而由此产生的积分则成为了连接经典分析和现代概率论的关键桥梁。

勒贝格-斯蒂尔杰斯测度好的，我们开始学习“勒贝格-斯蒂尔杰斯测度”。这个概念是勒贝格测度的推广，在概率论、泛函分析等领域有非常重要的应用。第一步：理解推广的动机——从“长度”到“质量分布” 回顾勒贝格测度：我们已知勒贝格测度是欧几里得空间中长度、面积、体积等概念的精密推广。对于一个区间 (a, b]，其勒贝格测度就是它的长度 b - a 。它是一种“均匀”的度量，每个单位长度都具有相同的“权重”。引入新需求：想象一下，一根密度不均匀的金属棒。测量它的长度（勒贝格测度）是不够的，我们更关心它的质量分布。例如，区间 (0, 1] 的质量可能不等于区间 (2, 3 ] 的质量，即便它们的长度相同。我们需要一种能刻画这种“非均匀分布”的度量工具。生成函数：为了描述这种分布，我们引入一个单调递增的右连续函数 F(x) 。这个函数 F 通常被称为分布函数。物理意义：对于整个实数轴， F(x) 可以解释为分布在区间 (-∞, x ] 上的总质量。概率意义：在概率论中， F(x) 就是累积分布函数，表示随机变量 X 取值小于等于 x 的概率，即 P(X ≤ x) 。右连续性：要求 F 右连续是为了保证测度构造的相容性。当点 x 从右侧趋近时，区间的质量会平滑地趋于该点的质量。第二步：定义区间上的测度——从函数 F 出发基本思想：我们仿照勒贝格测度从区间长度开始构造的方法，但不再使用标准的长度，而是使用函数 F 的增量来定义“广义长度”。区间的测度：对于一个左开右闭的区间 (a, b ]，我们定义其对应的测度为： μ_F((a, b]) = F(b) - F(a) 这个定义非常直观：区间 (a, b] 的“质量”就是分布函数 F 在 b 点的值与在 a 点的值之差。例子：如果 F(x) = x （恒等函数），那么 μ_F((a, b]) = b - a ，这就退化成了我们熟悉的勒贝格测度。如果 F(x) 是一个阶梯函数，在点 c 处有一个跳跃，跳跃高度为 h ，那么 μ_F 在点 c 处赋予了一个点质量为 h ，而区间内部没有质量。这正是离散分布的模型。如果 F(x) 是连续可微的，那么 μ_F 在区间 (a, b] 上的质量可以表示为 ∫_a^b F'(x) dx ，其中 F'(x) 可以理解为质量密度函数。第三步：构造完整的测度——卡拉西奥多里延拓定理的应用外测度的定义：与勒贝格测度的构造完全平行，我们首先定义勒贝格-斯蒂尔杰斯外测度。对于实数集的任意子集 A ，我们考虑 A 的所有可数开区间覆盖 ∪I_k ，并定义外测度为： μ_F*(A) = inf { Σ_k [F(b_k) - F(a_k)] } 其中下确界取遍所有覆盖 A 的可数个左开右闭区间 I_k = (a_k, b_k] 的集合。这个定义的核心思想是用 F 的增量之和来逼近 A 的“总质量”。可测集：然后，我们运用卡拉西奥多里条件来定义可测集。一个集合 E 是 μ_F -可测的，如果对于任意测试集 A ，都有： μ_F*(A) = μ_F*(A ∩ E) + μ_F*(A \ E) 所有 μ_F -可测集构成的集族构成一个 σ-代数。测度的完成：通过上述过程，我们在该 σ-代数上得到了一个完备的测度，这就是勒贝格-斯蒂尔杰斯测度，记为 μ_F 。它是由分布函数 F 唯一决定的。第四步：关键性质与特殊情形支撑：测度 μ_F 的“支撑”是指这样一个最小的闭集，其补集的测度为零。支撑描述了质量集中分布的区域。例如，对于阶梯函数生成的测度，其支撑就是那些跳跃点构成的集合。绝对连续性与奇异性：绝对连续：如果存在一个非负的可积函数 f （密度函数），使得对于所有 x ，有 F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt ，那么 μ_F 关于勒贝格测度是绝对连续的。此时， μ_F(E) = ∫_E f(x) dx 。奇异连续：存在这样的 F ，它是连续的，但它的增长几乎全部集中在一个勒贝格测度为零的集合上（如康托尔函数）。对应的测度 μ_F 就是奇异连续测度。分解定理：任意分布函数 F 都可以唯一地分解为一个绝对连续函数、一个奇异连续函数和一个跳跃函数之和。相应地，其生成的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 μ_F 也可以唯一地分解为绝对连续、奇异连续和离散三部分。第五步：积分——勒贝格-斯蒂尔杰斯积分定义：基于测度 μ_F ，我们可以定义关于该测度的积分，称为关于 F 的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。对于一个可测函数 g ，其积分记为： ∫ g dF 或 ∫ g(x) dF(x) 这个记号强调积分依赖于分布函数 F 。与黎曼-斯蒂尔杰斯积分的关系：当 g 连续且 F 是单调函数时，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与经典的黎曼-斯蒂尔杰斯积分相等。但勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的适用范围更广，对函数 g 的要求更低（只需可测），并且拥有勒贝格积分理论的所有强大工具（如控制收敛定理等）。概率论中的应用：在概率论中，随机变量 X 的期望值正是函数 g(x) = x 关于其分布函数 F 的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分： E[X] = ∫ x dF(x) 总结来说，勒贝格-斯蒂尔杰斯测度通过一个分布函数 F ，将均匀的“长度”度量推广到了非均匀的“质量”度量。其构造过程是测度论标准方法的典范应用，而由此产生的积分则成为了连接经典分析和现代概率论的关键桥梁。