代数簇的除子类群 代数簇的除子类群（Divisor Class Group）是代数几何中研究代数簇上除子线性等价关系的重要工具，它通过线性等价将除子分类，从而反映簇的几何性质（如奇点、有理映射的存在性等）。 1. 除子的基本定义 在代数簇 \( X \) 上，一个 韦尔除子 （Weil Divisor）是形式有限的整系数线性组合： \[ D = \sum n_ i Z_ i, \] 其中 \( Z_ i \) 是 \( X \) 的余维数为 1 的不可约子簇（即素除子），\( n_ i \in \mathbb{Z} \)。所有除子构成一个自由阿贝尔群 \(\operatorname{Div}(X)\)。 示例 ：在代数曲线（一维簇）上，素除子是点；在曲面上，素除子是曲线。 2. 主除子与线性等价 对 \( X \) 上的非零有理函数 \( f \in K(X)^* \)，可定义其 主除子 ： \[ (f) = \sum_ {Z} \operatorname{ord}_ Z(f) \cdot Z, \] 其中 \(\operatorname{ord}_ Z(f)\) 是 \( f \) 沿子簇 \( Z \) 的赋值（零点为正，极点为负）。主除子构成子群 \(\operatorname{PDiv}(X) \subset \operatorname{Div}(X)\)。 两个除子 \( D_ 1, D_ 2 \) 称为 线性等价 （记作 \( D_ 1 \sim D_ 2 \)），若 \( D_ 1 - D_ 2 \) 是主除子。线性等价关系保持除子的数值性质（如次数、相交数）。 3. 除子类群的定义 除子类群是除子群模掉主除子得到的商群： \[ \operatorname{Cl}(X) = \operatorname{Div}(X) / \operatorname{PDiv}(X). \] 它分类了所有线性等价的除子类，每个类称为一个 除子类 。 关键性质 ： 若 \( X \) 是仿射簇，则 \(\operatorname{Cl}(X)\) 与 \( X \) 的坐标环的理想类群相关； 若 \( X \) 是光滑射影簇，则 \(\operatorname{Cl}(X)\) 同构于 皮卡群 （Picard Group），即可逆层同构类的群。 4. 示例与计算 仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) ：任何不可约超曲面由单一方程定义，其主除子可调整系数，因此 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0\)。 射影空间 \(\mathbb{P}^n\) ：所有除子线性等价于超平面除子的倍数，故 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}\)。 圆锥曲线 ：考虑 \( X = V(y^2 - x^3) \subset \mathbb{A}^2 \)，其奇点导致 \(\operatorname{Cl}(X)\) 含有非平凡元（反映奇点的非光滑性）。 5. 与几何性质的关联 光滑性 ：若 \( X \) 光滑，则韦尔除子与卡蒂耶除子等价，\(\operatorname{Cl}(X)\) 可经由线丛的陈类描述。 奇点修正 ：奇点的消解过程会改变 \(\operatorname{Cl}(X)\)，例如通过爆破操作引入例外除子。 相交理论 ：除子类群上的相交数定义依赖线性等价的不变性。 6. 推广与高维几何 在更高维代数簇中，除子类群可分解为自由部分（由 ample 除子生成）与有限部分（与奇点或拓扑不变量相关）。这一分解与 内罗恩-塞韦里群 （Néron-Severi Group）及 代数等价 关系紧密相连。 通过研究 \(\operatorname{Cl}(X)\)，我们可以深入理解簇的分类、双有理几何以及模空间的结构。