圆的旋轮线（摆线）的渐屈线

我们先从回顾圆的旋轮线（摆线）的定义开始。当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一定点所描绘出的轨迹就是一条旋轮线，也称为摆线。

现在，我们来探讨这条旋轮线的渐屈线。一条曲线的渐屈线，被定义为该曲线所有法线的包络线。简单来说，渐屈线是原曲线所有曲率中心的轨迹。

对于旋轮线，其渐屈线具有一个非常优美且令人惊奇的几何性质：一条旋轮线的渐屈线，是另一条完全相同的旋轮线。

具体推导过程如下：

1. 建立旋轮线方程：设滚动圆的半径为 \(a\)。为简化问题，我们观察圆沿x轴滚动，初始时定点位于原点 \((0, 0)\)。当圆滚动角度 \(t\)（弧度）后，圆心的坐标为 \((at, a)\)。圆上定点相对于圆心的位置向量为 \((-a\sin t, -a\cos t)\)（负号是因为初始点在圆底部）。因此，旋轮线的参数方程为：

\[ x = a(t - \sin t), \quad y = a(1 - \cos t) \]

2. 求旋轮线的曲率中心：要找到渐屈线，我们需要找到旋轮线上每一点的法线，并确定曲率中心。
   • 切线斜率：先求导数。

\[ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t \]

因此，切线斜率 \(k\) 为：

\[ k = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} \]

利用三角恒等式，这可以简化为 \(k = \cot(t/2)\)。

• 法线斜率：法线与切线垂直，所以法线斜率 \(k_n\) 为：

\[ k_n = -\frac{1}{k} = -\tan(t/2) \]

• 法线方程：过旋轮线上点 \(P = (a(t - \sin t), a(1 - \cos t))\) 的法线方程可以写出。
• 曲率中心坐标：曲率中心 \(C\) 位于法线上，且到点 \(P\) 的距离等于该点的曲率半径 \(R\)。通过计算旋轮线的曲率公式，可以得到曲率半径 \(R = 4a|\sin(t/2)|\)。结合法线方向向量，可以精确求出曲率中心 \(C\) 的坐标为：

\[ X = a(t + \sin t), \quad Y = a(\cos t - 1) \]

3. 识别渐屈线：观察曲率中心的轨迹方程 \(X = a(t + \sin t), Y = a(\cos t - 1)\)。如果我们做一个参数变换，令 \(t' = t + \pi\)，并代入原旋轮线方程 \(x = a(t - \sin t), y = a(1 - \cos t)\)，同时考虑到三角函数的周期性（\(\sin(t+\pi) = -\sin t, \cos(t+\pi) = -\cos t\)），经过变换和坐标平移后，可以发现曲率中心的轨迹方程描述的正是另一条旋轮线。这条新的旋轮线与原旋轮线大小完全相同，只是位置发生了平移。

几何意义与应用：
这个性质意味着，如果你有一条旋轮线，那么它的“弯曲中心”的集合（即渐屈线）构成了另一条一模一样的旋轮线。这个性质在物理学和工程学中非常有用。例如，在钟摆设计中，为了使摆锤的摆动周期与振幅无关（即实现等时性），需要让摆锤沿着一条旋轮线运动。而旋轮线的渐屈线是自身这一性质，与实现这种等时性摆动的约束条件密切相关。