二次域的基本算术性质
字数 2292 2025-11-01 09:19:32

二次域的基本算术性质

我们先从二次域的定义开始。二次域是形如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) \) 的数域，其中 \(d\) 是一个无平方因子的整数（\(d \neq 0, 1\)）。这个域中的每个元素都可以唯一地表示为 \(a + b\sqrt{d}\)，其中 \(a, b \in \mathbb{Q}\)。

第一步：范数与迹
在二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 中，每个元素 \(\alpha = a + b\sqrt{d}\) 都对应着一个范数 \(N(\alpha)\) 和一个迹 \(\text{Tr}(\alpha)\)。

  • 范数定义为 \(N(\alpha) = \alpha \cdot \overline{\alpha} = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - db^2\)。
  • 迹定义为 \(\text{Tr}(\alpha) = \alpha + \overline{\alpha} = 2a\)。
    范数和迹总是有理数，如果 \(\alpha\) 是代数整数，那么范数和迹就是整数。范数是乘性的，即 \(N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)\)，这一性质在分析整除性时至关重要。

第二步：代数整数环
二次域 \(K\) 中的代数整数构成一个环，称为整数环，记作 \(\mathcal{O}_K\)。

  • 如果 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。
  • 如果 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \left\{ a + b\frac{1+\sqrt{d}}{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \right\}\)。
    第二种情况下的整数基是 \(\left\{ 1, \frac{1+\sqrt{d}}{2} \right\}\)，其判别式为 \(d\)。整数环的结构决定了后续算术性质的研究框架。

第三步：唯一因子分解与理想类群
在一般的二次域中，整数环 \(\mathcal{O}_K\) 并不总是唯一因子分解整环（UFD）。例如，在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 中，\(6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 是两种不同的不可约因子分解。

  • 为了衡量唯一因子分解的失效程度，我们引入理想类群 \(Cl(K)\)。
  • 理想类群由 \(\mathcal{O}_K\) 的分式理想模去主理想构成，其阶数称为类数 \(h_K\)。
  • 类数 \(h_K = 1\) 当且仅当 \(\mathcal{O}_K\) 是 UFD。类数越大，说明因子分解的“非唯一性”越严重。

第四步：单位群
二次域 \(K\) 的整数环 \(\mathcal{O}_K\) 中的可逆元（单位）构成一个群，称为单位群 \(\mathcal{O}_K^\times\)。

  • 如果 \(d < 0\)（虚二次域），单位群是有限的，仅由单位根组成。具体地：
    • 当 \(d = -1\)，单位是 \(\{\pm 1, \pm i\}\)。
    • 当 \(d = -3\)，单位是 \(\{\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2\}\)，其中 \(\omega\) 是三次单位根。
    • 其他虚二次域的单位群为 \(\{\pm 1\}\)。
  • 如果 \(d > 0\)（实二次域），单位群是无限群，形如 \(\{\pm \epsilon^n \mid n \in \mathbb{Z}\}\)，其中 \(\epsilon\) 是基本单位（>1的最小单位）。寻找基本单位通常需要解佩尔方程 \(x^2 - dy^2 = \pm 1\)。

第五步：素理想分解
在二次域 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 中，有理素数 \(p\) 在 \(\mathcal{O}_K\) 中的理想分解方式由 \(p\) 相对于 \(d\) 的二次剩余符号决定：

  • 分裂：如果 \(\left( \frac{d}{p} \right) = 1\)，则 \(p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2\)，其中 \(\mathfrak{p}_1 \neq \mathfrak{p}_2\) 是素理想。
  • 惯性：如果 \(\left( \frac{d}{p} \right) = -1\)，则 \(p\mathcal{O}_K\) 是 \(\mathcal{O}_K\) 中的素理想。
  • 分歧：如果 \(p \mid d\)（即 \(p\) 整除 \(d\) 的判别式），则 \(p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}^2\)。
    这一分解定律是二次域算术的核心，它将有理素数的性质与二次域的代数结构紧密联系起来。
二次域的基本算术性质 我们先从二次域的定义开始。二次域是形如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) \) 的数域，其中 \( d \) 是一个无平方因子的整数（\( d \neq 0, 1 \)）。这个域中的每个元素都可以唯一地表示为 \( a + b\sqrt{d} \)，其中 \( a, b \in \mathbb{Q} \)。 第一步：范数与迹 在二次域 \( K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) 中，每个元素 \( \alpha = a + b\sqrt{d} \) 都对应着一个 范数 \( N(\alpha) \) 和一个 迹 \( \text{Tr}(\alpha) \)。 范数定义为 \( N(\alpha) = \alpha \cdot \overline{\alpha} = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - db^2 \)。 迹定义为 \( \text{Tr}(\alpha) = \alpha + \overline{\alpha} = 2a \)。 范数和迹总是有理数，如果 \( \alpha \) 是代数整数，那么范数和迹就是整数。范数是乘性的，即 \( N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) \)，这一性质在分析整除性时至关重要。 第二步：代数整数环 二次域 \( K \) 中的代数整数构成一个环，称为 整数环 ，记作 \( \mathcal{O}_ K \)。 如果 \( d \equiv 2, 3 \pmod{4} \)，则 \( \mathcal{O}_ K = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} \)。 如果 \( d \equiv 1 \pmod{4} \)，则 \( \mathcal{O}_ K = \left\{ a + b\frac{1+\sqrt{d}}{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \right\} \)。 第二种情况下的整数基是 \( \left\{ 1, \frac{1+\sqrt{d}}{2} \right\} \)，其判别式为 \( d \)。整数环的结构决定了后续算术性质的研究框架。 第三步：唯一因子分解与理想类群 在一般的二次域中，整数环 \( \mathcal{O}_ K \) 并不总是唯一因子分解整环（UFD）。例如，在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) 中，\( 6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \) 是两种不同的不可约因子分解。 为了衡量唯一因子分解的失效程度，我们引入 理想类群 \( Cl(K) \)。 理想类群由 \( \mathcal{O}_ K \) 的分式理想模去主理想构成，其阶数称为 类数 \( h_ K \)。 类数 \( h_ K = 1 \) 当且仅当 \( \mathcal{O}_ K \) 是 UFD。类数越大，说明因子分解的“非唯一性”越严重。 第四步：单位群 二次域 \( K \) 的整数环 \( \mathcal{O}_ K \) 中的可逆元（单位）构成一个群，称为 单位群 \( \mathcal{O}_ K^\times \)。 如果 \( d < 0 \)（虚二次域），单位群是有限的，仅由单位根组成。具体地： 当 \( d = -1 \)，单位是 \( \{\pm 1, \pm i\} \)。 当 \( d = -3 \)，单位是 \( \{\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2\} \)，其中 \( \omega \) 是三次单位根。 其他虚二次域的单位群为 \( \{\pm 1\} \)。 如果 \( d > 0 \)（实二次域），单位群是无限群，形如 \( \{\pm \epsilon^n \mid n \in \mathbb{Z}\} \)，其中 \( \epsilon \) 是 基本单位 （>1的最小单位）。寻找基本单位通常需要解佩尔方程 \( x^2 - dy^2 = \pm 1 \)。 第五步：素理想分解 在二次域 \( K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) 中，有理素数 \( p \) 在 \( \mathcal{O}_ K \) 中的理想分解方式由 \( p \) 相对于 \( d \) 的二次剩余符号决定： 分裂 ：如果 \( \left( \frac{d}{p} \right) = 1 \)，则 \( p\mathcal{O}_ K = \mathfrak{p}_ 1 \mathfrak{p}_ 2 \)，其中 \( \mathfrak{p}_ 1 \neq \mathfrak{p}_ 2 \) 是素理想。 惯性 ：如果 \( \left( \frac{d}{p} \right) = -1 \)，则 \( p\mathcal{O}_ K \) 是 \( \mathcal{O}_ K \) 中的素理想。 分歧 ：如果 \( p \mid d \)（即 \( p \) 整除 \( d \) 的判别式），则 \( p\mathcal{O}_ K = \mathfrak{p}^2 \)。 这一分解定律是二次域算术的核心，它将有理素数的性质与二次域的代数结构紧密联系起来。