博雷尔可测映射 我们先从最基础的概念开始。博雷尔可测映射是可测函数概念的一个推广。为了理解它，我们需要先回顾几个关键的定义。 可测空间与σ-代数 一个 可测空间 是一个有序对 (X, 𝒜) ，其中 X 是一个集合， 𝒜 是 X 的子集构成的一个 σ-代数 。σ-代数是一个集合族，满足三个条件： 全集 X 属于 𝒜 。 如果集合 A 属于 𝒜 ，那么它的补集 A^c 也属于 𝒜 。 如果有一列集合 {A_n} 都属于 𝒜 ，那么它们的可数并 ∪_{n=1}^∞ A_n 也属于 𝒜 。 简单来说，σ-代数就是一个对可数集合运算（取补、可数并、可数交）封闭的集合族。 𝒜 中的集合被称为 可测集 。 博雷尔σ-代数 当我们讨论的集合 X 是一个 拓扑空间 （例如实数轴 R ，或更一般的欧几里得空间 R^n ，甚至是一个度量空间）时，有一个特别重要和自然的σ-代数。这个σ-代数是由所有开集（或者等价地，由所有闭集） 生成 的σ-代数，记为 B(X) ，称为 X 上的 博雷尔σ-代数 。 B(X) 中的集合称为 博雷尔集 。 例如，在实数轴 R 上，所有的开区间 (a, b) 、闭区间 [a, b] 、半开半闭区间、单点集、可数集等都是博雷尔集。 可测函数 有了可测空间，我们就可以定义可测函数。设 (X, 𝒜) 和 (Y, 𝒮) 是两个可测空间。一个函数 f: X -> Y 被称为 (𝒜, 𝒮) - 可测的 ，如果对于 𝒮 中的每一个可测集 E ，它的原像 f^{-1}(E) 都是 𝒜 中的可测集。即： ∀ E ∈ 𝒮, f^{-1}(E) = {x ∈ X : f(x) ∈ E} ∈ 𝒜 。 这个定义的核心思想是：函数 f 将可测性从值域空间“保持”回了定义域空间。 博雷尔可测映射的定义 现在我们可以给出核心定义了。设 X 和 Y 都是拓扑空间（例如， R^n 和 R^m ）。考虑它们各自配备的博雷尔σ-代数 B(X) 和 B(Y) 。 一个函数 f: X -> Y 被称为 博雷尔可测映射 ，如果它是 (B(X), B(Y)) -可测的。换句话说，对于 Y 中的任意博雷尔集 E ，它的原像 f^{-1}(E) 是 X 中的博雷尔集。 为什么博雷尔可测映射很重要？ 自然性 ：在分析学中，我们处理的空间通常都有自然的拓扑结构（如距离、开集等）。博雷尔σ-代数正是由这些拓扑结构直接定义的，因此博雷尔可测性是分析学中最常用、最自然的可测性概念。 验证的简便性 ：要验证一个映射 f: X -> Y 是博雷尔可测的，我们不需要检查所有博雷尔集的原像。一个非常有用的定理是： 如果 f 是连续的，那么 f 一定是博雷尔可测的。 这是因为对于任意开集 U ⊆ Y ，由于 f 连续， f^{-1}(U) 是 X 中的开集，而开集显然是博雷尔集。由于开集生成博雷尔σ-代数，这就足以证明 f 是博雷尔可测的。这使得连续函数自动成为博雷尔可测函数。 复合运算的封闭性 ：博雷尔可测映射在复合运算下是封闭的。如果 f: X -> Y 和 g: Y -> Z 都是博雷尔可测映射，那么它们的复合 g ∘ f: X -> Z 也是博雷尔可测映射。这个性质在构造复杂的可测函数时非常有用。 与勒贝格可测性的关系（在 R^n 中） 在 R^n 上，除了博雷尔σ-代数 B(R^n) ，我们还有更大的 勒贝格σ-代数 L(R^n) ，它包含了所有的博雷尔集以及所有零测集的子集。 一个重要的问题是：如果一个函数 f: R^n -> R^m 是博雷尔可测的，那么它关于勒贝格σ-代数是否也是可测的？答案是肯定的。因为如果 E 是 R^m 中的一个博雷尔集，那么 f^{-1}(E) 是 R^n 中的博雷尔集，而博雷尔集当然是勒贝格可测集。所以，博雷尔可测映射一定是勒贝格可测的。 但是，反过来不一定成立。存在勒贝格可测的函数，它不是博雷尔可测的。这是因为存在勒贝格可测集不是博雷尔集（利用选择公理可以构造），一个函数的原像可能包含这样的“奇怪”集合。 总结一下 ： 博雷尔可测映射是定义在两个拓扑空间之间，并且将值域中任意博雷尔集的原像映为定义域中博雷尔集的函数。它是可测函数概念在具有拓扑结构的空间上的具体实现，连续函数是其最重要的子类，并且在分析和概率论中因其良好的性质而被广泛使用。