代数簇的Chow环
字数 2522 2025-11-01 09:19:32

好的，我们接下来讲代数簇的Chow环。

代数簇的Chow环

  1. 动机：需要一个“好”的相交理论
    在代数几何中，我们经常研究子簇（如曲线、曲面）在另一个代数簇中的相交情况。在像欧几里得空间这样的“好”空间里，两个一般位置的子流形相交，结果是一个维数可预测的子流形。但在代数簇上，尤其是带有奇点或非一般位置的情况下，相交行为会变得复杂。我们不仅关心相交部分的维数，还希望给这个相交结果赋予一个“量”，比如重数，并且希望这些相交类能够构成一个代数结构（一个环），以便进行代数操作。Chow环就是为这个目的而建立的。

  2. 基础构件：循环（Cycle）
    首先，我们定义最基本的元素。设 \(X\) 是一个代数簇（例如，一个仿射或射影簇）。一个循环（Cycle）是 \(X\) 中闭子簇的形式线性组合。

  • 形式线性组合：意味着我们像写多项式一样，用整数系数把它们加起来。例如，如果 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是 \(X\) 上的两条曲线，那么 \(3C_1 - 2C_2\) 就是一个循环。
  • 维数：所有 \(r\) 维闭子簇的形式线性组合构成的群，记作 \(Z_r(X)\)。这是一个阿贝尔群（通常可以自由交换）。
  1. 关键的等价关系：有理等价（Rational Equivalence）
    仅仅有循环群还不够，因为不同的循环可能在几何意义上是“等价”的。我们需要一种等价关系来识别它们。Chow环中使用的等价关系叫做有理等价。
  • 直观思想：两个子簇是有理等价的，如果它们可以被一个“代数族”连接起来。想象一个参数 \(t\)，当 \(t\) 在一条代数曲线（如仿射直线）上变化时，我们得到一族子簇 \(V_t\)。如果 \(V_0\) 和 \(V_\infty\) 是这族子簇在参数取两个特定值（如0和无穷远点）时的成员，那么 \(V_0\) 和 \(V_\infty\) 就是有理等价的。
  • 精确描述（特殊情况）：对于一个函数 \(f\) 在子簇 \(W\) 上，我们可以定义其除子（一个1维循环）\(\text{div}(f)\)。更一般地，两个 \(r\) 维循环 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是有理等价的，如果存在 \((r+1)\) 维子簇 \(W\) 和 \(W\) 上的有理函数 \(f\)，使得 \(\alpha - \beta\) 等于 \(f\) 的除子（在 \(X\) 上所呈现的样子）。这捕捉了“通过一个函数的变化而相互变形”的思想。
  1. Chow群（Chow Group）
    现在我们通过等价关系来商掉循环群。
  • 定义：代数簇 \(X\) 的 \(r\) 维 Chow群 \(A_r(X)\) 定义为 \(r\) 维循环群 \(Z_r(X)\) 模掉有理等价关系。

\[ A_r(X) = Z_r(X) / \text{~(有理等价)} \]

*   **元素**：Chow群中的一个元素叫做一个 **Chow类**。它代表了一堆在有理等价意义下相同的循环。
  • 所有维度的和：我们也可以考虑所有维度的Chow群的直和 \(A_*(X) = \bigoplus_r A_r(X)\)。
  1. 环结构：相交积（Intersection Product）
    使Chow群变得强大的是它上面可以定义一个乘法，使其成为一个环。这个乘法叫做相交积。
  • 目标：我们希望定义一种方法，使得两个Chow类 \([V]\) 和 \([W]\) 相乘，得到一个新的Chow类 \([V] \cdot [W]\)，它应该代表子簇 \(V\) 和 \(W\) “一般位置”相交的类。
    • 如何定义：
  1. 移动引理（Moving Lemma）：这是定义相交积的关键技术工具。它断言，在有理等价类中，我们可以总是找到“代表元”，使得它们处于“一般位置”（即它们的相交是“横截”的，并且相交部分的维数是预期的 \(\dim V + \dim W - \dim X\)）。
  2. 取相交：对于处于一般位置的代表元 \(V‘\) 和 \(W’\)，它们的集合论交集 \(V‘ \cap W’\) 可能不是不可约的，也可能带有重数。我们需要精确定义这个相交循环，考虑每个不可约分支上的“相交重数”。
  3. 结果：这样得到的相交循环 \(V‘ \cdot W’\) 的有理等价类是良定义的，即不依赖于我们所选择的一般位置代表元。因此，我们定义 \([V] \cdot [W] = [V‘ \cdot W’]\)。
  • 环的形成：装备了这种相交积的直和 \(A_*(X)\) 就成为了一个环，称为 \(X\) 的 Chow环。
  1. 性质与例子
  • 分次环：Chow环是一个分次环，其中 \(A_r(X)\) 是 \(r\) 次齐次分量。两个维数分别为 \(i\) 和 \(j\) 的类相乘，结果落在 \(A_{i+j-\dim X}\) 中（因为维数公式）。
  • 射影空间的Chow环：射影空间 \(\mathbb{P}^n\) 的Chow环特别简单。它同构于 \(\mathbb{Z}[H] / (H^{n+1})\)，其中 \(H\) 是一个超平面（如 \(x_0=0\)）的类。\(H^r\) 对应一个 \((n-r)\) 维线性子空间的类。
    • 与上同调的关系：对于光滑复射影簇，存在一个循环类映射（Cycle class map）从Chow环到整系数上同调环。这个映射是一个环同态。它允许我们将代数几何的相交问题转化为拓扑问题，但Chow环保留了更精细的代数信息。

总结来说，代数簇的Chow环是一个强大的工具，它通过“有理等价”和“移动引理”将代数簇中子簇的几何相交概念，成功地提升到了一个纯代数的、易于计算的环结构框架内，极大地促进了相交理论的发展。

好的，我们接下来讲 代数簇的Chow环 。 代数簇的Chow环 动机：需要一个“好”的相交理论 在代数几何中，我们经常研究子簇（如曲线、曲面）在另一个代数簇中的相交情况。在像欧几里得空间这样的“好”空间里，两个一般位置的子流形相交，结果是一个维数可预测的子流形。但在代数簇上，尤其是带有奇点或非一般位置的情况下，相交行为会变得复杂。我们不仅关心相交部分的维数，还希望给这个相交结果赋予一个“量”，比如重数，并且希望这些相交类能够构成一个代数结构（一个环），以便进行代数操作。Chow环就是为这个目的而建立的。 基础构件：循环（Cycle） 首先，我们定义最基本的元素。设 \( X \) 是一个代数簇（例如，一个仿射或射影簇）。一个 循环 （Cycle）是 \( X \) 中闭子簇的 形式线性组合 。 形式线性组合 ：意味着我们像写多项式一样，用整数系数把它们加起来。例如，如果 \( C_ 1 \) 和 \( C_ 2 \) 是 \( X \) 上的两条曲线，那么 \( 3C_ 1 - 2C_ 2 \) 就是一个循环。 维数 ：所有 \( r \) 维闭子簇的形式线性组合构成的群，记作 \( Z_ r(X) \)。这是一个阿贝尔群（通常可以自由交换）。 关键的等价关系：有理等价（Rational Equivalence） 仅仅有循环群还不够，因为不同的循环可能在几何意义上是“等价”的。我们需要一种等价关系来识别它们。Chow环中使用的等价关系叫做 有理等价 。 直观思想 ：两个子簇是有理等价的，如果它们可以被一个“代数族”连接起来。想象一个参数 \( t \)，当 \( t \) 在一条代数曲线（如仿射直线）上变化时，我们得到一族子簇 \( V_ t \)。如果 \( V_ 0 \) 和 \( V_ \infty \) 是这族子簇在参数取两个特定值（如0和无穷远点）时的成员，那么 \( V_ 0 \) 和 \( V_ \infty \) 就是有理等价的。 精确描述（特殊情况） ：对于一个函数 \( f \) 在子簇 \( W \) 上，我们可以定义其除子（一个1维循环）\( \text{div}(f) \)。更一般地，两个 \( r \) 维循环 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是 有理等价 的，如果存在 \( (r+1) \) 维子簇 \( W \) 和 \( W \) 上的有理函数 \( f \)，使得 \( \alpha - \beta \) 等于 \( f \) 的除子（在 \( X \) 上所呈现的样子）。这捕捉了“通过一个函数的变化而相互变形”的思想。 Chow群（Chow Group） 现在我们通过等价关系来商掉循环群。 定义 ：代数簇 \( X \) 的 \( r \) 维 Chow群 \( A_ r(X) \) 定义为 \( r \) 维循环群 \( Z_ r(X) \) 模掉有理等价关系。 \[ A_ r(X) = Z_ r(X) / \text{~(有理等价)} \] 元素 ：Chow群中的一个元素叫做一个 Chow类 。它代表了一堆在有理等价意义下相同的循环。 所有维度的和 ：我们也可以考虑所有维度的Chow群的直和 \( A_* (X) = \bigoplus_ r A_ r(X) \)。 环结构：相交积（Intersection Product） 使Chow群变得强大的是它上面可以定义一个乘法，使其成为一个环。这个乘法叫做 相交积 。 目标 ：我们希望定义一种方法，使得两个Chow类 \( [ V] \) 和 \( [ W] \) 相乘，得到一个新的Chow类 \( [ V] \cdot [ W ] \)，它应该代表子簇 \( V \) 和 \( W \) “一般位置”相交的类。 如何定义 ： 移动引理（Moving Lemma） ：这是定义相交积的关键技术工具。它断言，在有理等价类中，我们可以总是找到“代表元”，使得它们处于“一般位置”（即它们的相交是“横截”的，并且相交部分的维数是预期的 \( \dim V + \dim W - \dim X \)）。 取相交 ：对于处于一般位置的代表元 \( V‘ \) 和 \( W’ \)，它们的集合论交集 \( V‘ \cap W’ \) 可能不是不可约的，也可能带有重数。我们需要精确定义这个相交循环，考虑每个不可约分支上的“相交重数”。 结果 ：这样得到的相交循环 \( V‘ \cdot W’ \) 的有理等价类是良定义的，即不依赖于我们所选择的一般位置代表元。因此，我们定义 \( [ V] \cdot [ W] = [ V‘ \cdot W’ ] \)。 环的形成 ：装备了这种相交积的直和 \( A_* (X) \) 就成为了一个环，称为 \( X \) 的 Chow环 。 性质与例子 分次环 ：Chow环是一个分次环，其中 \( A_ r(X) \) 是 \( r \) 次齐次分量。两个维数分别为 \( i \) 和 \( j \) 的类相乘，结果落在 \( A_ {i+j-\dim X} \) 中（因为维数公式）。 射影空间的Chow环 ：射影空间 \( \mathbb{P}^n \) 的Chow环特别简单。它同构于 \( \mathbb{Z}[ H] / (H^{n+1}) \)，其中 \( H \) 是一个超平面（如 \( x_ 0=0 \)）的类。\( H^r \) 对应一个 \( (n-r) \) 维线性子空间的类。 与上同调的关系 ：对于光滑复射影簇，存在一个 循环类映射 （Cycle class map）从Chow环到整系数上同调环。这个映射是一个环同态。它允许我们将代数几何的相交问题转化为拓扑问题，但Chow环保留了更精细的代数信息。 总结来说， 代数簇的Chow环 是一个强大的工具，它通过“有理等价”和“移动引理”将代数簇中子簇的几何相交概念，成功地提升到了一个纯代数的、易于计算的环结构框架内，极大地促进了相交理论的发展。