量子力学中的Kato定理

Kato定理是量子力学数学方法中关于算子扰动理论的一个基本结果，它提供了在哈密顿量上添加一个“小”扰动后，其自伴性得以保持的严格条件。这个定理保证了当我们有一个已知的自伴算子（如自由粒子的哈密顿量），在满足特定条件下，加上一个势能扰动后，总哈密顿量仍然是自伴的，从而其谱理论是良定义的。

1. 背景：无界算子和自伴性
   首先，量子力学中的可观测量，特别是能量（由哈密顿量H表示），通常是由在无穷维希尔伯特空间上定义的无界算子来描述。与有界算子不同，无界算子并非在整个空间上都有定义。算子的“自伴性”是保证其谱定理成立的关键。谱定理告诉我们，自伴算子的本征值都是实数（对应可测量的物理量），并且算子可以按照其谱进行分解，这类似于有限维中的对角化。如果一个算子是对称的（即<φ, Hψ> = <Hφ, ψ> 对所有在其定义域中的φ, ψ成立），但定义域不够大，它可能不是自伴的，这会引发诸如本征值变为复数等非物理问题。

2. 问题：扰动下的自伴性
   在实际物理问题中，总哈密顿量通常可以写成一个简单的、已知是自伴的算子（例如，动能算子 H₀ = -ℏ²/2m Δ）加上一个势能项 V。一个核心问题是：在什么条件下，这个势能 V 的加入不会破坏 H₀ 的自伴性？也就是说，我们如何确保总哈密顿量 H = H₀ + V 仍然是自伴的？如果 V 本身就是一个有界算子，那么问题很简单。但许多物理势（如库仑势 -e²/r）是无界的，这使得问题变得复杂。

3. Kato定理的核心：相对有界性
   Kato定理的精髓在于引入了“相对有界性”的概念来解决这个问题。我们不说势能 V 本身是“小”的，而是说 V 相对于 H₀ 是“小”的。

   • H₀-有界性：称一个算子 V 是 H₀-有界的，如果存在非负常数 a 和 b，使得对于所有属于 H₀ 定义域的波函数 ψ，都有以下不等式成立：
     ||Vψ|| ≤ a ||H₀ψ|| + b ||ψ||
     这里，||.|| 表示希尔伯特空间中的范数。这个不等式的直观意义是，势能 V 对波函数 ψ 的“放大”效应，可以被动能算子 H₀ 对 ψ 的“放大”效应（以及 ψ 本身的范数）所控制。常数 a 被称为 V 相对于 H₀ 的界。

4. Kato定理的表述
   Kato定理（通常指Kato-Rellich定理）指出：
   设 H₀ 是一个（本质）自伴算子，V 是一个对称算子，并且是 H₀-有界的，其相对界 a < 1。那么，总哈密顿量 H = H₀ + V 在 H₀ 的定义域上也是（本质）自伴的。
   定理中的条件“a < 1”至关重要。它意味着扰动 V 相对于未扰动的哈密顿量 H₀ 是“足够小”的。如果 a = 1，结论可能不再成立。

5. 关键应用：薛定谔算子
   Kato定理最著名的应用是证明具有特定势能函数的薛定谔算子是自伴的。

   • 库仑势：对于氢原子，H₀ = -Δ 是自由哈密顿量（在适当的单位下），势能 V(r) = -e²/r 是库仑势。可以证明，在三维及以上空间中，库仑势是 (-Δ)-有界的，并且其相对界 a = 0。因为 a=0 显然小于1，所以根据Kato定理，氢原子的哈密顿量 H = -Δ - e²/r 是自伴的。这为氢原子能级的离散谱提供了坚实的数学基础。
   • Kato类势：更一般地，满足某些可积性条件的势函数（例如，在 L² 空间上加一个 L^∞ 空间）被证明是相对有界的，从而涵盖了广泛的物理相关势能。

总结来说，Kato定理为量子力学中哈密顿量的数学合理性提供了一个强大的判别工具。它通过相对有界性的概念，精确地刻画了多大的势能扰动可以被加入到自由哈密顿量中，而不会破坏其自伴性这一核心物理性质，确保了谱理论和其他量子动力学描述的适用性。