伽罗瓦群
字数 2390 2025-11-01 09:19:38

伽罗瓦群

好的，我们开始学习一个新的代数词条：伽罗瓦群。伽罗瓦群是伽罗瓦理论的核心概念，它将域扩张的对称性通过群论的语言精确地描述出来。要理解它，我们需要一步步搭建知识体系。

第一步：回顾基础——域扩张与自同构群

  1. 域扩张：回忆一下，如果有一个大域 K 包含一个小域 F，我们记作 K/F，并称 K 是 F 的一个域扩张。例如，复数域 ℂ 是实数域 ℝ 的一个扩张，ℂ/ℝ。

  2. F-自同构：考虑域扩张 K/F。一个 K 到自身的同构（即双射的域同态）σ: K → K，如果它保持 F 中的每一个元素都不动（即对于所有 a ∈ F，都有 σ(a) = a），那么我们就称 σ 是 K 的一个 F-自同构。

  3. F-自同构群：所有 K 的 F-自同构在映射的复合运算下构成一个群。这个群被称为域扩张 K/F 的 自同构群，记作 Aut(K/F)。

第二步：引入核心定义——伽罗瓦扩张与伽罗瓦群

并非所有域扩张的对称性都“完美”。伽罗瓦理论主要研究一类特别“规整”的扩张。

  1. 伽罗瓦扩张：一个域扩张 K/F 被称为 伽罗瓦扩张，如果它同时满足以下两个条件：

    • 正规性：K 是 F 上的一个分裂域。简单来说，F 上的任何一个不可约多项式，只要在 K 中有一个根，那么它必然在 K 中分解成一次因式的乘积。
    • 可分性：F 上每个元素在 K 中的极小多项式都是可分多项式（即没有重根）。在特征为零的域（如有理数域 ℚ）上，所有扩张都是可分的，所以此时我们只需关注正规性。

  2. 伽罗瓦群的定义：如果 K/F 是一个伽罗瓦扩张，那么它的 F-自同构群 Aut(K/F) 就有一个特殊的名字——伽罗瓦群，记作 Gal(K/F)。

    • 所以，Gal(K/F) = Aut(K/F)，前提是 K/F 是伽罗瓦扩张。

第三步：理解伽罗瓦群的直观意义——对称性

伽罗瓦群描述了域扩张的对称性。

  • 考虑一个简单的例子：扩张 ℂ/ℝ。我们知道 ℂ = ℝ(i)，其中 i² = -1。
  • 这个扩张是伽罗瓦扩张。它的伽罗瓦群 Gal(ℂ/ℝ) 包含哪些元素呢？
    • 恒等自同构：σ₁(a+bi) = a+bi。这显然保持 ℝ 不动。
    • 复共轭自同构：σ₂(a+bi) = a-bi。验证一下，对于任何实数 a（即 b=0），σ₂(a) = a，所以它也保持 ℝ 不动。并且它满足域同构的所有性质。
  • 因此，Gal(ℂ/ℝ) = {σ₁, σ₂}。这是一个二阶循环群，同构于 ℤ/2ℤ。
  • 对称性的解释：这个群描述了从实数域扩展到复数域时引入的“对称性”。多项式 x² + 1 = 0 在 ℝ 上无根，在 ℂ 上有两个根：i 和 -i。伽罗瓦群的作用就是在这两个根之间进行“置换”。σ₁ 保持 i 不动，σ₂ 将 i 变为 -i。这个群精确地捕捉了方程根的对称性。

第四步：探索核心定理——伽罗瓦对应

伽罗瓦理论的巅峰是伽罗瓦基本定理，它建立了两个数学结构之间完美的一一对应关系。

  1. 对应双方：设 K/F 是一个伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为 G = Gal(K/F)。

    • 一方：K 与 F 之间的中间域的集合。即满足 F ⊆ E ⊆ K 的所有域 E。
    • 另一方：群 G 的子群的集合。

  2. 对应关系：存在一个一一对应（反序同构）：

    • 从中间域 E 出发，可以对应到伽罗瓦群 G 的一个子群：H = Gal(K/E)。这个子群由所有保持 E 中元素不变的 K-自同构组成。
    • 从子群 H 出发，可以对应到一个中间域：E = K^H。这个域是 H 的固定域，即 K 中所有在 H 的每个元素作用下都保持不动的元素组成的集合。

  3. 定理的意义：这个对应是革命性的。它将困难的域论问题（如分类所有中间域）转化为相对更容易的有限群论问题（如分类子群）。例如，一个方程能否用根式求解，就等价于其伽罗瓦群是否是可解群。

第五步：举例深化理解——二次扩张与分圆域

  1. 二次扩张：我们之前看的 ℂ/ℝ 就是一个典型的二次伽罗瓦扩张。更一般地，对于特征非 2 的域 F，任何形如 F(√d) 的二次扩张（其中 d 不是 F 中的平方数）都是伽罗瓦扩张。它的伽罗瓦群 Gal(F(√d)/F) 同构于 ℤ/2ℤ，其非平凡元素将 √d 映射为 -√d。

  2. 分圆域：考虑有理数域 ℚ 添加一个 n 次单位根 ζ（即 ζ^n = 1）得到的扩张 ℚ(ζ)/ℚ。这是一个伽罗瓦扩张。

    • 它的伽罗瓦群 Gal(ℚ(ζ)/ℚ) 同构于整数模 n 的乘法群 (ℤ/nℤ)*。这个群的元素由那些与 n 互素的整数 k 所对应的自同构 σ_k 组成，其中 σ_k(ζ) = ζ^k。
    • 这个例子展示了伽罗瓦群可以是阿贝尔群（即交换群），并且其结构非常清晰。阿贝尔扩张（伽罗瓦群为阿贝尔群的扩张）在数论中具有极其重要的地位。

总结

伽罗瓦群是研究域扩张对称性的强大工具。它通过以下步骤定义和理解：

  1. 从域扩张 K/F 的 F-自同构群 Aut(K/F) 出发。
  2. 当扩张是正规且可分的（即伽罗瓦扩张）时，该自同构群被称为伽罗瓦群 Gal(K/F)。
  3. 伽罗瓦群的元素可以看作是对添加到基域中的新元素（特别是多项式的根）进行置换的对称操作。
  4. 伽罗瓦基本定理在伽罗瓦扩张的子群和中间域之间建立了完美的反序对应，这是整个理论的核心。
  5. 通过二次扩张和分圆域等例子，我们可以具体地看到伽罗瓦群的结构和其描述的对称性。

这个概念将经典的方程根式求解问题转化为清晰的群论问题，是代数学中连接不同领域的桥梁。

伽罗瓦群 好的，我们开始学习一个新的代数词条： 伽罗瓦群 。伽罗瓦群是伽罗瓦理论的核心概念，它将域扩张的对称性通过群论的语言精确地描述出来。要理解它，我们需要一步步搭建知识体系。 第一步：回顾基础——域扩张与自同构群 域扩张 ：回忆一下，如果有一个大域 K 包含一个小域 F ，我们记作 K/F ，并称 K 是 F 的一个域扩张。例如，复数域 ℂ 是实数域 ℝ 的一个扩张，ℂ/ℝ。 F-自同构 ：考虑域扩张 K/F 。一个 K 到自身的同构（即双射的域同态）σ: K → K ，如果它保持 F 中的每一个元素都不动（即对于所有 a ∈ F ，都有 σ(a) = a），那么我们就称 σ 是 K 的一个 F-自同构 。 F-自同构群 ：所有 K 的 F -自同构在映射的复合运算下构成一个群。这个群被称为域扩张 K/F 的 自同构群 ，记作 Aut( K/F )。 第二步：引入核心定义——伽罗瓦扩张与伽罗瓦群 并非所有域扩张的对称性都“完美”。伽罗瓦理论主要研究一类特别“规整”的扩张。 伽罗瓦扩张 ：一个域扩张 K/F 被称为 伽罗瓦扩张 ，如果它同时满足以下两个条件： 正规性 ： K 是 F 上的一个分裂域。简单来说， F 上的任何一个不可约多项式，只要在 K 中有一个根，那么它必然在 K 中分解成一次因式的乘积。 可分性 ： F 上每个元素在 K 中的极小多项式都是可分多项式（即没有重根）。在特征为零的域（如有理数域 ℚ）上，所有扩张都是可分的，所以此时我们只需关注正规性。 伽罗瓦群的定义 ：如果 K/F 是一个伽罗瓦扩张，那么它的 F -自同构群 Aut( K/F ) 就有一个特殊的名字—— 伽罗瓦群 ，记作 Gal( K/F )。 所以， Gal( K/F ) = Aut( K/F ) ，前提是 K/F 是伽罗瓦扩张。 第三步：理解伽罗瓦群的直观意义——对称性 伽罗瓦群描述了域扩张的对称性。 考虑一个简单的例子：扩张 ℂ/ℝ。我们知道 ℂ = ℝ(i)，其中 i² = -1。 这个扩张是伽罗瓦扩张。它的伽罗瓦群 Gal(ℂ/ℝ) 包含哪些元素呢？ 恒等自同构 ：σ₁(a+bi) = a+bi。这显然保持 ℝ 不动。 复共轭自同构 ：σ₂(a+bi) = a-bi。验证一下，对于任何实数 a（即 b=0），σ₂(a) = a，所以它也保持 ℝ 不动。并且它满足域同构的所有性质。 因此，Gal(ℂ/ℝ) = {σ₁, σ₂}。这是一个二阶循环群，同构于 ℤ/2ℤ。 对称性的解释 ：这个群描述了从实数域扩展到复数域时引入的“对称性”。多项式 x² + 1 = 0 在 ℝ 上无根，在 ℂ 上有两个根：i 和 -i。伽罗瓦群的作用就是在这两个根之间进行“置换”。σ₁ 保持 i 不动，σ₂ 将 i 变为 -i。这个群精确地捕捉了方程根的对称性。 第四步：探索核心定理——伽罗瓦对应 伽罗瓦理论的巅峰是 伽罗瓦基本定理 ，它建立了两个数学结构之间完美的一一对应关系。 对应双方 ：设 K/F 是一个伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为 G = Gal( K/F )。 一方 ： K 与 F 之间的 中间域 的集合。即满足 F ⊆ E ⊆ K 的所有域 E 。 另一方 ：群 G 的 子群 的集合。 对应关系 ：存在一个一一对应（反序同构）： 从中间域 E 出发，可以对应到伽罗瓦群 G 的一个子群： H = Gal( K/E )。这个子群由所有保持 E 中元素不变的 K -自同构组成。 从子群 H 出发，可以对应到一个中间域： E = K^H 。这个域是 H 的 固定域 ，即 K 中所有在 H 的每个元素作用下都保持不动的元素组成的集合。 定理的意义 ：这个对应是革命性的。它将困难的域论问题（如分类所有中间域）转化为相对更容易的有限群论问题（如分类子群）。例如，一个方程能否用根式求解，就等价于其伽罗瓦群是否是可解群。 第五步：举例深化理解——二次扩张与分圆域 二次扩张 ：我们之前看的 ℂ/ℝ 就是一个典型的二次伽罗瓦扩张。更一般地，对于特征非 2 的域 F ，任何形如 F (√d) 的二次扩张（其中 d 不是 F 中的平方数）都是伽罗瓦扩张。它的伽罗瓦群 Gal( F (√d)/ F ) 同构于 ℤ/2ℤ，其非平凡元素将 √d 映射为 -√d。 分圆域 ：考虑有理数域 ℚ 添加一个 n 次单位根 ζ（即 ζ^n = 1）得到的扩张 ℚ(ζ)/ℚ。这是一个伽罗瓦扩张。 它的伽罗瓦群 Gal(ℚ(ζ)/ℚ) 同构于整数模 n 的乘法群 (ℤ/nℤ)* 。这个群的元素由那些与 n 互素的整数 k 所对应的自同构 σ_ k 组成，其中 σ_ k(ζ) = ζ^k。 这个例子展示了伽罗瓦群可以是阿贝尔群（即交换群），并且其结构非常清晰。阿贝尔扩张（伽罗瓦群为阿贝尔群的扩张）在数论中具有极其重要的地位。 总结 伽罗瓦群 是研究域扩张对称性的强大工具。它通过以下步骤定义和理解： 从域扩张 K/F 的 F -自同构群 Aut( K/F ) 出发。 当扩张是正规且可分的（即伽罗瓦扩张）时，该自同构群被称为伽罗瓦群 Gal( K/F )。 伽罗瓦群的元素可以看作是对添加到基域中的新元素（特别是多项式的根）进行置换的对称操作。 伽罗瓦基本定理在伽罗瓦扩张的子群和中间域之间建立了完美的反序对应，这是整个理论的核心。 通过二次扩张和分圆域等例子，我们可以具体地看到伽罗瓦群的结构和其描述的对称性。 这个概念将经典的方程根式求解问题转化为清晰的群论问题，是代数学中连接不同领域的桥梁。