随机变量的概率分布函数
字数 1101 2025-11-01 09:19:38

随机变量的概率分布函数

  1. 概念引入
    概率分布函数是描述随机变量取值规律的函数。对于随机变量 \(X\)，其概率分布函数 \(F_X(x)\) 定义为：

\[F_X(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}. \]

它表示 \(X\) 取值不超过实数 \(x\) 的累积概率。例如，若 \(F_X(2) = 0.8\)，说明 \(X \leq 2\) 的概率为 80%。

  1. 基本性质
    概率分布函数满足以下核心性质：
  • 单调非减：若 \(x_1 < x_2\)，则 \(F_X(x_1) \leq F_X(x_2)\)。
  • 右连续：对任意 \(x\)，有 \(\lim_{t \to x^+} F_X(t) = F_X(x)\)。
  • 极限行为：

\[ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1. \]

这些性质是判断一个函数是否为分布函数的充要条件。

  1. 离散型与连续型分布函数
  • 离散型随机变量：若 \(X\) 取值可列（如整数），则 \(F_X(x)\) 是阶梯函数。例如，掷骰子的分布函数在 \(x=1,2,\dots,6\) 处跳跃，跳跃高度为概率 \(\frac{1}{6}\)。
  • 连续型随机变量：若 \(X\) 有概率密度函数 \(f_X(x)\)，则分布函数可表示为：

\[ F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt. \]

此时 \(F_X(x)\) 是连续函数，且在密度函数连续的点可导，满足 \(F'_X(x) = f_X(x)\)。

  1. 应用与计算示例
    分布函数可用于计算区间概率：

\[P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a). \]

例如，若 \(X \sim \text{Uniform}(0,1)\)，则 \(F_X(x) = x\)（当 \(0 \leq x \leq 1\)），计算 \(P(0.3 < X \leq 0.7) = 0.7 - 0.3 = 0.4\)。

  1. 推广：联合分布函数
    对多个随机变量 \((X,Y)\)，联合分布函数定义为：

\[F_{X,Y}(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y). \]

它同时描述 \(X\) 和 \(Y\) 的统计特性，是研究随机向量相依性的基础。

随机变量的概率分布函数 概念引入 概率分布函数是描述随机变量取值规律的函数。对于随机变量 \( X \)，其概率分布函数 \( F_ X(x) \) 定义为： \[ F_ X(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}. \] 它表示 \( X \) 取值不超过实数 \( x \) 的累积概率。例如，若 \( F_ X(2) = 0.8 \)，说明 \( X \leq 2 \) 的概率为 80%。 基本性质 概率分布函数满足以下核心性质： 单调非减 ：若 \( x_ 1 < x_ 2 \)，则 \( F_ X(x_ 1) \leq F_ X(x_ 2) \)。 右连续 ：对任意 \( x \)，有 \( \lim_ {t \to x^+} F_ X(t) = F_ X(x) \)。 极限行为 ： \[ \lim_ {x \to -\infty} F_ X(x) = 0, \quad \lim_ {x \to +\infty} F_ X(x) = 1. \] 这些性质是判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 离散型与连续型分布函数 离散型随机变量 ：若 \( X \) 取值可列（如整数），则 \( F_ X(x) \) 是阶梯函数。例如，掷骰子的分布函数在 \( x=1,2,\dots,6 \) 处跳跃，跳跃高度为概率 \( \frac{1}{6} \)。 连续型随机变量 ：若 \( X \) 有概率密度函数 \( f_ X(x) \)，则分布函数可表示为： \[ F_ X(x) = \int_ {-\infty}^x f_ X(t) \, dt. \] 此时 \( F_ X(x) \) 是连续函数，且在密度函数连续的点可导，满足 \( F'_ X(x) = f_ X(x) \)。 应用与计算示例 分布函数可用于计算区间概率： \[ P(a < X \leq b) = F_ X(b) - F_ X(a). \] 例如，若 \( X \sim \text{Uniform}(0,1) \)，则 \( F_ X(x) = x \)（当 \( 0 \leq x \leq 1 \)），计算 \( P(0.3 < X \leq 0.7) = 0.7 - 0.3 = 0.4 \)。 推广：联合分布函数 对多个随机变量 \( (X,Y) \)，联合分布函数定义为： \[ F_ {X,Y}(x,y) = P(X \leq x, Y \leq y). \] 它同时描述 \( X \) 和 \( Y \) 的统计特性，是研究随机向量相依性的基础。