复变函数的极限与连续性的深入讨论
我们先从复变函数极限的精确定义开始。设函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的某个去心邻域内有定义。若存在复数 \(L\)，使得对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |z - z_0| < \delta\) 时，有 \(|f(z) - L| < \epsilon\)，则称当 \(z\) 趋近于 \(z_0\) 时，\(f(z)\) 的极限为 \(L\)，记作：
\[\lim_{z \to z_0} f(z) = L \]
这一定义在形式上与实变函数极限的 \(\epsilon-\delta\) 定义相同，但本质区别在于，\(z\) 可以从复平面上任意方向趋近于 \(z_0\)，而不仅限于实轴上的两个方向。因此，复变函数的极限存在要求比实变函数更为严格。
接下来，我们讨论复变函数的连续性。若函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处满足：
- \(f(z_0)\) 有定义；
- \(\lim_{z \to z_0} f(z)\) 存在；
- \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\)；
则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续。
由于复变函数的极限可以转化为两个二元实变函数的极限，即令 \(z = x + iy\)，\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)，则 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = L\) 等价于同时满足：
\[\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} u(x, y) = \text{Re}(L), \quad \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} v(x, y) = \text{Im}(L) \]
因此，复变函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续，当且仅当其对应的实部函数 \(u(x, y)\) 和虚部函数 \(v(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处均连续。
进一步地，复变函数的连续性具有以下基本性质：
- 若 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 均在点 \(z_0\) 处连续，则它们的和、差、积、商（当 \(g(z_0) \neq 0\) 时）也在点 \(z_0\) 处连续。
- 若 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续，\(g(w)\) 在点 \(w_0 = f(z_0)\) 处连续，则复合函数 \(g(f(z))\) 在点 \(z_0\) 处连续。
最后，我们考虑一致连续的概念。设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 上有定义。若对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对于 \(D\) 内任意两点 \(z_1, z_2\)，只要 \(|z_1 - z_2| < \delta\)，就有 \(|f(z_1) - f(z_2)| < \epsilon\)，则称 \(f(z)\) 在 \(D\) 上一致连续。一致连续是比逐点连续更强的条件，它要求 \(\delta\) 的选取与点的位置无关。在有界闭区域（即紧集）上，连续函数必然一致连续，这一性质在复分析中常用于证明某些积分的一致收敛性。