复变函数的积分与柯西不等式 我们先从复积分的基本概念开始。设函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内定义，\( C \) 是 \( D \) 内一条可求长曲线，其参数方程为 \( z(t) = x(t) + i y(t) \)，\( a \leq t \leq b \)。则 \( f \) 沿 \( C \) 的积分定义为： \[ \int_ C f(z) \, dz = \int_ a^b f(z(t)) z'(t) \, dt. \] 这个定义是将曲线积分转化为实参数 \( t \) 的普通积分。积分的存在性要求 \( f(z(t)) \) 是分段连续的。 接下来，我们考虑一个重要的特殊情况。假设 \( f(z) \) 在闭路 \( C \) 及其内部是解析的。根据柯西积分定理，我们有： \[ \oint_ C f(z) \, dz = 0. \] 这个定理是复分析的核心之一，它表明解析函数在单连通区域内的积分与路径无关。 现在，我们利用柯西积分公式来推导柯西不等式。假设 \( f(z) \) 在以点 \( a \) 为圆心、\( R \) 为半径的圆盘 \( |z - a| \leq R \) 内解析。那么，对于圆 \( C_ R: |z - a| = R \) 内部的任意一点 \( z_ 0 \)，柯西积分公式给出： \[ f(z_ 0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ {C_ R} \frac{f(z)}{z - z_ 0} \, dz. \] 特别地，取 \( z_ 0 = a \)，我们得到： \[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_ {C_ R} \frac{f(z)}{z - a} \, dz. \] 为了得到不等式，我们考虑 \( f(z) \) 在点 \( a \) 处的泰勒级数展开： \[ f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} c_ n (z - a)^n, \] 其中系数 \( c_ n \) 由积分公式给出： \[ c_ n = \frac{1}{2\pi i} \oint_ {C_ R} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \, dz. \] 现在，我们估计系数 \( c_ n \) 的模。在积分路径 \( C_ R \) 上，有 \( |z - a| = R \)，因此 \( \frac{1}{|z - a|^{n+1}} = \frac{1}{R^{n+1}} \)。设 \( M(R) = \max_ {|z - a| = R} |f(z)| \)，即 \( f(z) \) 在圆周 \( C_ R \) 上的最大模。利用积分不等式 \( \left| \int_ C g(z) \, dz \right| \leq \int_ C |g(z)| \, |dz| \)，我们得到： \[ |c_ n| = \left| \frac{1}{2\pi i} \oint_ {C_ R} \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \, dz \right| \leq \frac{1}{2\pi} \oint_ {C_ R} \frac{|f(z)|}{|z - a|^{n+1}} \, |dz| \leq \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{M(R)}{R^{n+1}} \cdot 2\pi R = \frac{M(R)}{R^n}. \] 因此，我们得到了柯西不等式： \[ |c_ n| \leq \frac{M(R)}{R^n}, \quad n = 0, 1, 2, \dots. \] 这个不等式表明，解析函数的泰勒系数被函数在圆周上的最大模所控制。 柯西不等式有许多重要的应用。例如，在证明刘维尔定理时，我们假设 \( f(z) \) 是整个复平面上的有界整函数，即存在常数 \( M \) 使得 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 成立。那么，对于任意 \( R > 0 \) 和任意 \( n \geq 1 \)，有 \( |c_ n| \leq \frac{M}{R^n} \)。令 \( R \to \infty \)，我们得到 \( |c_ n| = 0 \) 对 \( n \geq 1 \) 成立，因此 \( f(z) = c_ 0 \) 是常数函数。这就是刘维尔定理。 此外，柯西不等式也是研究解析函数性质的有力工具，例如在证明解析函数的唯一性定理和最大模原理时都会用到它。它建立了函数局部（系数）与整体（最大模）行为之间的联系。