二次型的亏格理论 我们先从二次型的等价关系开始。两个整数二次型称为等价的，如果它们可以通过可逆的线性变换相互转化。更精确地说，对于n元二次型Q(x₁,...,xₙ)和Q'(x₁,...,xₙ)，如果存在n×n整数矩阵M满足det(M)=±1，使得Q'(x)=Q(Mx)，则称它们等价。 在等价关系下，二次型可以按照其行列式（或更一般地，判别式）进行分类。但仅凭行列式不足以区分所有不等价的二次型，这就引出了亏格的概念。 亏格是比等价更粗的分类：两个二次型属于同一亏格，当且仅当它们在所有p-ad数域上局部等价。这意味着对于每个素数p（包括无穷素数p=∞），存在p-ad整数矩阵将其中一个形式变为另一个。 判断两个二次型是否属于同一亏格的实用标准是：它们必须具有相同的行列式，并且在模每个素数p的幂次m上表示相同的整数集合。这个条件可以通过计算二次型在模p^k下的值分布来验证。 亏格理论的核心结果是Hasse-Minkowski定理：一个二次型在有理数上表示某个整数，当且仅当它在所有p-ad数域上局部表示该整数。这表明全局性质由局部性质完全决定。 每个亏格包含有限多个等价类，这些类的数量称为该亏格的类数。类数是二次型算术理论的重要不变量，反映了该亏格中不同全局结构的丰富程度。 亏格理论将二次型的分类问题分解为局部和全局两个层面，为研究二次型的算术性质提供了强有力的框架，也是现代数论中局部-全局原理的典型体现。