代数簇的周定理 代数簇的周定理是代数几何中的一个重要结果，涉及代数簇的相交理论。它由周炜良提出，建立了闭链的有理等价性与上同调类之间的对应关系。以下将逐步展开说明： 1. 背景：代数簇与闭链 代数簇 ：是多项式方程组的零点集（例如，平面曲线 \(x^2 + y^2 = 1\)）。 闭链 ：是代数簇中子簇的整系数线性组合（如 \(2C_ 1 - 3C_ 2\)，其中 \(C_ 1, C_ 2\) 是子簇）。 有理等价 ：两个闭链有理等价，若它们可通过代数簇的连续族（如参数曲线）相互变形得到。例如，平面上两条直线总是有理等价。 2. 周环（Chow Ring）的构造 周定理的核心是定义代数簇 \(X\) 的 周环 \(A^* (X)\)： 将闭链按有理等价关系分类，得到群 \(A_ k(X)\)（\(k\) 维闭链的等价类）。 通过 相交积 （如两个子簇的横截相交）赋予环结构。例如，平面上两条直线相交于一个点，对应点的闭链。 3. 周定理的表述 对于非奇异射影代数簇 \(X\)（如光滑曲线、曲面），周定理断言： \[ A^ (X) \otimes \mathbb{Q} \cong H^{2 }(X, \mathbb{Q}) \] 即：周环的有理系数形式与偶维上同调环同构。 关键点 ： 每个闭链对应一个上同调类（如子簇对应庞加莱对偶类）。 相交积对应上同调类的杯积。 4. 例子：复射影空间 \(\mathbb{P}^n\) \(\mathbb{P}^n\) 的周环由超平面类 \(H\) 生成，满足 \(H^{n+1} = 0\)。 周定理给出 \(A^ (\mathbb{P}^n) \cong H^{2 }(\mathbb{P}^n, \mathbb{Z})\)，其中 \(H^k\) 对应 \(H^{k/2}\) 的上同调类。 5. 应用与推广 计数几何 ：周定理将几何问题（如计算相交点数）转化为上同调计算。 奇点簇 ：对奇异簇需使用 周群的有理等价 的推广（如周-维数猜想）。 算术几何 ：在数域上推广为 周-塔特群 ，联系到代数循环与L函数。 6. 现代发展 高维簇的分解 ：利用周环研究簇的精细结构（如双有理不变量）。 导出几何 ：在导出代数几何中，周定理推广至 代数K理论 与 周期上同调 的对应。 通过以上步骤，周定理将直观的几何对象（子簇的相交）与抽象的拓扑不变量（上同调）紧密结合，成为代数几何的核心工具之一。