量子力学中的压缩算子 我们先从基本概念开始。压缩算子（contraction operator）是定义在希尔伯特空间 H 上的一个有界线性算子 T，其算子范数满足 ||T|| ≤ 1。直观上，这意味着算子 T 不会“拉伸”任何向量的长度超过其原始长度。对于任意向量 ψ ∈ H，都有 ||Tψ|| ≤ ||ψ||。 接下来，我们探讨压缩算子的一个重要性质：幂有界性。由于 ||T^n|| ≤ ||T||^n ≤ 1 对所有正整数 n 都成立，因此算子 T 的所有幂次 T^n 也都是压缩算子。这个性质在研究量子动力学的长期行为（例如在量子散射理论或开放量子系统动力学中）时非常关键。 现在，我们将压缩算子与量子力学中的时间演化联系起来。根据Stone定理，一个自伴哈密顿量 H 会生成一个酉时间演化群 U(t) = e^{-iHt/ℏ}，其范数为1。然而，在描述耗散或衰减过程的开放量子系统中，时间演化可能不再保持概率守恒（即不再是酉的），而是由一个压缩半群 {T(t)}_ {t≥0} 来描述，其中每个 T(t) 都是压缩算子。这意味着系统的“概率”或“信息”会随时间减少。 压缩算子的谱性质也很有特点。根据谱映射定理，其谱 σ(T) 包含在闭单位圆盘 {z ∈ C : |z| ≤ 1} 中。特别地，单位圆上的点（即 |z|=1）对应的特征值与系统的稳态或不变态有关。在量子力学中，这可以对应于一个衰减过程中可能存在的稳定能级或束缚态。 最后，我们提及压缩算子的一个深刻应用：Dilation定理（膨胀定理）。任何希尔伯特空间 H 上的压缩算子 T，都可以被“膨胀”为一个更大的希尔伯特空间 K (⊃ H) 上的酉算子 U。这意味着，一个看似不可逆的压缩演化（如开放系统的耗散），可以被看作是某个更大的封闭量子系统（系统+环境）的酉演化在该系统子空间上的投影。这为用封闭系统方法研究开放量子系统提供了坚实的数学基础。