伽罗瓦对应

字数 3014 2025-11-01 09:19:43

伽罗瓦对应

伽罗瓦对应是伽罗瓦理论的核心概念，它建立了域扩张的中间域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系。理解这一对应关系，是理解方程可解性等问题的关键。

1. 基本背景：伽罗瓦扩张

首先，我们需要一个特殊的域扩张 \(L/K\)。这个扩张需要是有限的、可分的，并且是正规的。满足这三个条件的域扩张称为伽罗瓦扩张。
有限：指 \(L\) 作为 \(K\) 上的线性空间，其维度（即扩张次数 \([L:K]\)）是有限的。
可分：指 \(L\) 中每个元素在 \(K\) 上的极小多项式都是可分多项式（即没有重根）。
正规：指如果一个不可约多项式 \(f(x)\) 在 \(K[x]\) 中，并且它在 \(L\) 中有一个根，那么它必须在 \(L\) 中分裂成一次因式的乘积（即所有根都在 \(L\) 中）。
最简单的例子是 \(K = \mathbb{Q}\)，\(L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。这是一个伽罗瓦扩张，因为它是有限的（次数为2），可分的（极小多项式 \(x^2-2\) 无重根），正规的（\(x^2-2\) 的两个根 \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\) 都在 \(L\) 中）。

2. 核心构件：伽罗瓦群

对于一个伽罗瓦扩张 \(L/K\)，我们定义它的伽罗瓦群，记为 \(\text{Gal}(L/K)\)。
这个群由所有 \(L\) 到自身的域自同构（即保持域结构且双射的映射）组成，并且这些自同构在 \(K\) 上的作用是平凡的（即对于任意 \(k \in K\)，有 \(\sigma(k) = k\)）。
伽罗瓦群中的每个元素 \(\sigma\) 都是一个“对称”操作，它置换多项式根的位置，但同时保持基域 \(K\) 不变。在上例 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\) 中，伽罗瓦群有两个元素：恒等自同构 \(\text{id}\)，以及将 \(\sqrt{2}\) 映射为 \(-\sqrt{2}\) 的自同构 \(\sigma\)。所以 \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\) 是一个2阶循环群。

3. 对应关系的两端：中间域与子群

现在，我们考虑扩张 \(L/K\) 的所有中间域 \(E\)，即满足 \(K \subseteq E \subseteq L\) 的域 \(E\)。
同时，我们考虑伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 的所有子群 \(H\)。
伽罗瓦对应就在这两个集合之间建立联系。

4. 建立映射：从子群到中间域

给定一个子群 \(H \subseteq \text{Gal}(L/K)\)，我们可以定义一个与之关联的中间域，称为 \(H\) 的固定域。
固定域 \(L^H\) 定义为 \(L\) 中所有被 \(H\) 中每一个自同构固定的元素的集合：\(L^H = \{ x \in L \mid \sigma(x) = x \text{ 对所有 } \sigma \in H \text{ 成立} \}\)。
可以验证，\(L^H\) 确实是一个域，并且 \(K \subseteq L^H \subseteq L\)。因此，我们有一个从子群集合到中间域集合的映射：\(H \mapsto L^H\)。

5. 建立映射：从中间域到子群

反过来，给定一个中间域 \(E\)（\(K \subseteq E \subseteq L\)），我们可以定义一个与之关联的子群。
这个子群 \(\text{Gal}(L/E)\) 由所有在 \(E\) 上作用平凡的自同构组成。因为 \(E\) 包含 \(K\)，所以这些自同构必然也在 \(K\) 上作用平凡，因此 \(\text{Gal}(L/E)\) 是 \(\text{Gal}(L/K)\) 的一个子群。
因此，我们有一个从中间域集合到子群集合的映射：\(E \mapsto \text{Gal}(L/E)\)。

6. 对应定理：一一反序包含

伽罗瓦对应定理指出：对于伽罗瓦扩张 \(L/K\)，上述两个映射是互逆的双射。也就是说：

对于任何中间域 \(E\)，有 \(E = L^{\text{Gal}(L/E)}\)。
对于任何子群 \(H\)，有 \(H = \text{Gal}(L/L^H)\)。

这意味着每个中间域都唯一地对应一个子群，反之亦然。
这个对应是反序的：如果 \(E_1 \subseteq E_2\) 是两个中间域，那么它们对应的子群满足 \(\text{Gal}(L/E_2) \subseteq \text{Gal}(L/E_1)\)。反过来，如果 \(H_1 \subseteq H_2\) 是两个子群，那么它们对应的中间域满足 \(L^{H_2} \subseteq L^{H_1}\)。包含关系被反转了。

7. 一个简单例子

再次考虑扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)。
中间域：有两个中间域，\(\mathbb{Q}\) 和 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 本身。
伽罗瓦群：\(\text{Gal}(L/K) = \{\text{id}, \sigma\}\)，它有两个子群：平凡子群 \(\{\text{id}\}\) 和整个群 \(\{\text{id}, \sigma\}\)。
对应关系：
中间域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 对应子群 \(\text{Gal}(L/L) = \{\text{id}\}\)。
中间域 \(\mathbb{Q}\) 对应子群 \(\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) = \{\text{id}, \sigma\}\)。
子群 \(\{\text{id}\}\) 的固定域是 \(L^{\{\text{id}\}} = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。
子群 \(\{\text{id}, \sigma\}\) 的固定域是 \(L^{\{\text{id}, \sigma\}} = \mathbb{Q}\)。
可以看到，这是一个完美的一一对应，并且 \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 对应 \(\{\text{id}, \sigma\} \supset \{\text{id}\}\)，体现了反序性。

8. 更深层的含义：正规子群与正规扩张

伽罗瓦对应不仅仅是集合上的一一对应，它还保持了代数结构。
一个重要结论是：一个中间域 \(E\) 是 \(K\) 的伽罗瓦扩张（即正规扩张），当且仅当它对应的子群 \(\text{Gal}(L/E)\) 是 \(\text{Gal}(L/K)\) 的正规子群。
在这种情况下，中间域 \(E\) 的伽罗瓦群 \(\text{Gal}(E/K)\) 同构于商群 \(\text{Gal}(L/K) / \text{Gal}(L/E)\)。这允许我们将对大的域扩张的研究，转化为对相对较小的群及其商群的研究。

伽罗瓦对应伽罗瓦对应是伽罗瓦理论的核心概念，它建立了域扩张的中间域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系。理解这一对应关系，是理解方程可解性等问题的关键。 1. 基本背景：伽罗瓦扩张首先，我们需要一个特殊的域扩张 \(L/K\)。这个扩张需要是有限的、可分的，并且是正规的。满足这三个条件的域扩张称为伽罗瓦扩张。有限：指 \(L\) 作为 \(K\) 上的线性空间，其维度（即扩张次数 \([ L:K ]\)）是有限的。可分：指 \(L\) 中每个元素在 \(K\) 上的极小多项式都是可分多项式（即没有重根）。正规：指如果一个不可约多项式 \(f(x)\) 在 \(K[ x ]\) 中，并且它在 \(L\) 中有一个根，那么它必须在 \(L\) 中分裂成一次因式的乘积（即所有根都在 \(L\) 中）。最简单的例子是 \(K = \mathbb{Q}\)，\(L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。这是一个伽罗瓦扩张，因为它是有限的（次数为2），可分的（极小多项式 \(x^2-2\) 无重根），正规的（\(x^2-2\) 的两个根 \(\sqrt{2}\) 和 \(-\sqrt{2}\) 都在 \(L\) 中）。 2. 核心构件：伽罗瓦群对于一个伽罗瓦扩张 \(L/K\)，我们定义它的伽罗瓦群，记为 \(\text{Gal}(L/K)\)。这个群由所有 \(L\) 到自身的域自同构（即保持域结构且双射的映射）组成，并且这些自同构在 \(K\) 上的作用是平凡的（即对于任意 \(k \in K\)，有 \(\sigma(k) = k\)）。伽罗瓦群中的每个元素 \(\sigma\) 都是一个“对称”操作，它置换多项式根的位置，但同时保持基域 \(K\) 不变。在上例 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\) 中，伽罗瓦群有两个元素：恒等自同构 \(\text{id}\)，以及将 \(\sqrt{2}\) 映射为 \(-\sqrt{2}\) 的自同构 \(\sigma\)。所以 \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\) 是一个2阶循环群。 3. 对应关系的两端：中间域与子群现在，我们考虑扩张 \(L/K\) 的所有中间域 \(E\)，即满足 \(K \subseteq E \subseteq L\) 的域 \(E\)。同时，我们考虑伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 的所有子群 \(H\)。伽罗瓦对应就在这两个集合之间建立联系。 4. 建立映射：从子群到中间域给定一个子群 \(H \subseteq \text{Gal}(L/K)\)，我们可以定义一个与之关联的中间域，称为 \(H\) 的固定域。固定域 \(L^H\) 定义为 \(L\) 中所有被 \(H\) 中每一个自同构固定的元素的集合：\(L^H = \{ x \in L \mid \sigma(x) = x \text{ 对所有 } \sigma \in H \text{ 成立} \}\)。可以验证，\(L^H\) 确实是一个域，并且 \(K \subseteq L^H \subseteq L\)。因此，我们有一个从子群集合到中间域集合的映射：\(H \mapsto L^H\)。 5. 建立映射：从中间域到子群反过来，给定一个中间域 \(E\)（\(K \subseteq E \subseteq L\)），我们可以定义一个与之关联的子群。这个子群 \(\text{Gal}(L/E)\) 由所有在 \(E\) 上作用平凡的自同构组成。因为 \(E\) 包含 \(K\)，所以这些自同构必然也在 \(K\) 上作用平凡，因此 \(\text{Gal}(L/E)\) 是 \(\text{Gal}(L/K)\) 的一个子群。因此，我们有一个从中间域集合到子群集合的映射：\(E \mapsto \text{Gal}(L/E)\)。 6. 对应定理：一一反序包含伽罗瓦对应定理指出：对于伽罗瓦扩张 \(L/K\)，上述两个映射是互逆的双射。也就是说：对于任何中间域 \(E\)，有 \(E = L^{\text{Gal}(L/E)}\)。对于任何子群 \(H\)，有 \(H = \text{Gal}(L/L^H)\)。这意味着每个中间域都唯一地对应一个子群，反之亦然。这个对应是反序的：如果 \(E_ 1 \subseteq E_ 2\) 是两个中间域，那么它们对应的子群满足 \(\text{Gal}(L/E_ 2) \subseteq \text{Gal}(L/E_ 1)\)。反过来，如果 \(H_ 1 \subseteq H_ 2\) 是两个子群，那么它们对应的中间域满足 \(L^{H_ 2} \subseteq L^{H_ 1}\)。包含关系被反转了。 7. 一个简单例子再次考虑扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)。中间域：有两个中间域，\(\mathbb{Q}\) 和 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 本身。伽罗瓦群：\(\text{Gal}(L/K) = \{\text{id}, \sigma\}\)，它有两个子群：平凡子群 \(\{\text{id}\}\) 和整个群 \(\{\text{id}, \sigma\}\)。对应关系：中间域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 对应子群 \(\text{Gal}(L/L) = \{\text{id}\}\)。中间域 \(\mathbb{Q}\) 对应子群 \(\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) = \{\text{id}, \sigma\}\)。子群 \(\{\text{id}\}\) 的固定域是 \(L^{\{\text{id}\}} = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。子群 \(\{\text{id}, \sigma\}\) 的固定域是 \(L^{\{\text{id}, \sigma\}} = \mathbb{Q}\)。可以看到，这是一个完美的一一对应，并且 \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 对应 \(\{\text{id}, \sigma\} \supset \{\text{id}\}\)，体现了反序性。 8. 更深层的含义：正规子群与正规扩张伽罗瓦对应不仅仅是集合上的一一对应，它还保持了代数结构。一个重要结论是：一个中间域 \(E\) 是 \(K\) 的伽罗瓦扩张（即正规扩张），当且仅当它对应的子群 \(\text{Gal}(L/E)\) 是 \(\text{Gal}(L/K)\) 的正规子群。在这种情况下，中间域 \(E\) 的伽罗瓦群 \(\text{Gal}(E/K)\) 同构于商群 \(\text{Gal}(L/K) / \text{Gal}(L/E)\)。这允许我们将对大的域扩张的研究，转化为对相对较小的群及其商群的研究。