数学中“凸性”概念的演进 凸性是一个直观却内涵丰富的几何与分析概念，其思想可追溯至古希腊时期，但系统化研究始于19世纪。以下分阶段说明其演进历程。 1. 直观萌芽阶段（古代至18世纪） 几何背景 ：古希腊人已注意到“凸形”的直观特征，如圆、椭圆等图形中，任意两点连线仍位于图形内部。阿基米德在《论球与圆柱》中隐含使用了凸曲线的性质，但未明确定义。 早期应用 ：开普勒在光学研究中发现凸透镜的聚焦性质，凸性成为物理现象的隐含条件，但数学描述尚未形成。 2. 明确定义与初步理论（19世纪） 解析几何的推动 ：蒙日（Gaspard Monge）在《分析在几何中的应用》（1809）中通过曲率描述凸曲面，但首次明确定义由赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）在19世纪末提出： 欧氏空间中集合\( K \)是凸的，当且仅当对任意两点\( x, y \in K \)，连线段\( \lambda x + (1-\lambda)y \)（\( 0 \leq \lambda \leq 1 \)）完全包含于\( K \)。 凸多面体研究 ：柯西等人对凸多面体的刚性定理（1813）表明凸性对几何结构有约束作用，为后续凸体理论奠基。 3. 凸分析的形成（20世纪上半叶） 闵可夫斯基泛函 ：闵可夫斯基引入支撑函数、混合体积等工具，建立凸体的代数运算（如闵可夫斯基加法），并证明基本不等式（如Brunn-Minkowski不等式）。 凸函数理论 ：延森（Johan Jensen）在1906年提出凸函数不等式，将凸性从集合扩展到函数： 函数\( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \)是凸的，若对其定义域内任意\( x, y \)和\( \lambda \in [ 0,1 ] \)，满足 \[ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)。 \] 这为优化理论提供了基础。 4. 泛函分析与优化的突破（20世纪中叶） 对偶理论 ：冯·诺依曼在博弈论中引入凸集的对偶性，罗克afellar（R. Tyrrell Rockafellar）在《凸分析》（1970）中系统建立共轭函数、次梯度等概念，将凸分析与泛函分析结合。 优化理论 ：丹齐格（George Dantzig）的线性规划（1947）与库恩-塔克条件（1951）表明凸性是最优解存在的关键保证，推动运筹学发展。 5. 现代发展与跨学科应用（20世纪末至今） 计算凸性 ：随机凸集、凸优化算法（如内点法）解决高维问题，应用于机器学习（支持向量机）、信号处理等。 离散与概率推广 ：洛瓦兹（László Lovász）提出凸多面体的“极性”与组合优化联系，概率测度的凸性（如Brunn-Minkowski理论的推广）深化了几何概率论。 总结 凸性从直观几何属性发展为横跨分析、优化、组合数学的核心工具，其演进体现了“具体直观→抽象定义→应用拓展”的数学思想深化过程。