复变函数的积分与路径无关性 我们先从复变函数积分的基本概念开始。设f(z)是定义在区域D上的复变函数，γ是D内的一条可求长曲线。f(z)沿γ的积分定义为黎曼和的极限。 现在，关键问题是：这个积分值是否依赖于积分路径的选择？答案是，在特定条件下，积分与路径无关。 柯西定理的基础理解 如果f(z)在单连通区域D内解析，那么沿D内任意闭曲线的积分都为零。这意味着在单连通区域内，解析函数的积分只与起点和终点有关，而与连接这两点的具体路径无关。 多连通区域的情况 当区域不是单连通时（即区域内有"洞"），情况变得复杂。这时，积分可能依赖于路径绕奇点的圈数。例如，函数1/z在去掉原点的复平面上的积分，沿绕原点的不同闭曲线可能得到不同的值。 原函数的存在条件 积分与路径无关的等价条件是存在原函数。如果f(z)在区域D内连续，且沿D内任意闭曲线的积分都为零，则f(z)在D内存在原函数。 实际应用意义 这个性质大大简化了复积分的计算。当我们知道积分与路径无关时，可以选择最简单的路径（如直线段）进行计算，或者利用原函数求值，而不必考虑复杂的实际路径。