模形式的艾森斯坦级数 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是在复上半平面上的全纯函数，满足特定的函数方程和增长性条件。具体来说，对于一个权重为k、级别为N的模形式，它对于模群Γ₀(N)的某个同余子群作用下的变换是协变的，并且在尖点处是全纯的。 艾森斯坦级数是构造模形式最基本和重要的方法之一。它们是无穷级数，其定义直接来自于模群的变换性质。 最简单的例子：全模群上的艾森斯坦级数 考虑级别N=1的全模群SL(2,ℤ)。对于偶数k ≥ 4，权重为k的艾森斯坦级数定义为： Gₖ(τ) = ∑' (mτ + n)^{-k} 其中，求和符号∑'表示对所有整数对(m, n) ∈ ℤ²进行求和，但不包括(m, n) = (0, 0)这一对。τ是复上半平面上的点。 这个级数在k>2时是绝对收敛的，定义了一个全纯函数。更重要的是，可以证明Gₖ(τ)满足模形式所要求的函数方程：对于SL(2,ℤ)中的任何矩阵，Gₖ((aτ+b)/(cτ+d)) = (cτ+d)^(k) Gₖ(τ)。它在无穷远点（即τ → i∞）的傅里叶展开是： Gₖ(τ) = 2ζ(k) [ 1 - (2k/Bₖ) ∑ {n≥1} σ {k-1}(n) qⁿ ] 其中，ζ是黎曼ζ函数，Bₖ是伯努利数，σ_ {k-1}(n) = ∑_ {d|n} d^{k-1}是除数函数，q = e^{2πiτ}。为了归一化，我们通常定义艾森斯坦级数Eₖ(τ) = Gₖ(τ) / (2ζ(k))，使其常数项为1。 级别N > 1的同余子群上的艾森斯坦级数 当我们考虑级别更高的同余子群Γ₀(N)时，情况变得复杂。我们需要构造满足更严格对称性的模形式。为此，我们引入依赖于“特征标”的艾森斯坦级数。 设χ和ψ是模N的狄利克雷特征（即群(ℤ/Nℤ)^×的同态）。我们要求χψ(-1) = (-1)^k，以确保非平凡性。 那么，权重为k，级别为N，带有特征标χ（或χ, ψ对）的艾森斯坦级数可以定义为： Eₖ(τ; χ, ψ) = ∑' χ(m) ψ(n) (mτ + n)^{-k} 这里的求和需要对m, n进行适当限制，并考虑特征标。这些级数在Γ₀(N)下具有变换性质，其傅里叶展开系数由狄利克雷L函数L(s, χ)和除数函数与特征标的卷积给出。 艾森斯坦级数的空间 对于一个给定的权重k和级别N，所有模形式构成一个有限维的复向量空间Mₖ(Γ₀(N))。这个空间可以直和分解为两个子空间： 艾森斯坦空间 ：由所有艾森斯坦级数及其线性组合张成的子空间。 尖点形式空间 ：由在所有尖点处取值为零的模形式构成的子空间。 这个分解Mₖ(Γ₀(N)) = Eₖ(Γ₀(N)) ⊕ Sₖ(Γ₀(N))是极其重要的。艾森斯坦级数通常更容易理解和计算，而尖点形式则承载了更深刻、更微妙的算术信息（例如与椭圆曲线、伽罗瓦表示的联系）。 算术意义与应用 艾森斯坦级数的傅里叶系数具有明确的算术公式。例如，在级别1的情况下，Eₖ(τ)的第n个傅里叶系数正比于σ_ {k-1}(n)，这是一个经典的数论函数。在更高级别下，系数与狄利克雷特征的值相关。 艾森斯坦级数是研究以下问题的基本工具： 模形式空间的维数公式 ：通过研究艾森斯坦级数，可以得到模形式空间和尖点形式空间维数的精确公式。 L-函数 ：艾森斯坦级数对应的L-函数可以表示为两个狄利克雷L-函数的乘积，这比尖点形式的L-函数（被认为具有黎曼猜想性质的函数）要简单得多。 特殊值 ：它们与伯努利数、狄利克雷L函数的特殊值等基本算术量紧密相连。 总之，艾森斯坦级数是模形式理论中的基础构件，它们提供了模空间上最“明显”的函数，是理解更复杂的尖点形式的起点。