量子力学中的谱投影

我们先从线性代数中的投影算子开始。在有限维空间中，一个厄米矩阵（自伴算子）可以对角化，其特征向量张成整个空间。谱定理将这个思想推广到可能无界的自伴算子，而“谱投影”是构建这个定理的核心工具。

1. 投影算子的基本概念
   在希尔伯特空间H中，一个算子P被称为投影算子，如果它满足幂等性（P² = P）和自伴性（P = P*）。它的几何意义是：将空间H正交投影到它的值域（一个闭子空间）上。例如，在三维空间投影到xy平面上。

2. 从特征值到谱族
   对于有限维自伴算子A，其谱是特征值的集合{λ₁, λ₂, ...}。对于每个特征值λᵢ，都有一个对应的投影算子Pᵢ，它投影到属于λᵢ的特征空间上。算子A可以表示为A = Σ λᵢ Pᵢ。为了处理连续谱（如位置算子），我们需要一个更精细的结构。

3. 谱族的定义
   一个谱族（或单位分解）是一族投影算子{E(λ)}，其中参数λ是实数，满足：

   • (单调性) 若λ ≤ μ，则E(λ) ≤ E(μ)（即E(λ)E(μ) = E(λ)）。
   • (右连续性) 当ε→0⁺时，E(λ+ε)强收敛于E(λ)。
   • (极限行为) 当λ→-∞时，E(λ)强收敛于零算子；当λ→+∞时，E(λ)强收敛于单位算子。
     直观上，E(λ)可以理解为“投影到所有小于等于λ的广义本征态所张成的子空间上”。

4. 谱定理
   对于任意（可能无界的）自伴算子A，存在唯一的谱族{E(λ)}，使得A可以表示为斯蒂尔杰斯积分：
   A = ∫ λ dE(λ)
   积分区间是整个实轴。这就是自伴算子的谱定理。算子A的谱σ(A)就是使得E(λ)不恒定的λ值的集合。

5. 谱投影的应用
   给定实数区间Ω，我们可以定义算子E(Ω)，它对应于谱族在Ω上的“增量”。例如，E([a, b]) = E(b) - E(a⁻)。这个E(Ω)就是谱投影算子，它投影到与A的谱在Ω内的部分相对应的子空间上。这在物理上至关重要：

   • 测量公设：测量可观测量A得到结果在Ω内的概率为 <ψ| E(Ω) |ψ>。
   • 谱分解：算子的函数可以通过f(A) = ∫ f(λ) dE(λ)来定义。
   • 本征值：如果λ₀是孤立本征值，则E({λ₀})就是投影到相应本征空间的算子。