数值粘性 1. 基本概念 数值粘性是一种在数值计算中人为引入的、类似于物理粘性的效应，它并非源于物理模型本身，而是由离散化格式的截断误差所导致。在计算流体力学和双曲型守恒律方程的数值解法中，数值粘性起着至关重要的作用，它直接影响解的稳定性、精度和物理真实性。 2. 产生机理 当使用有限差分、有限体积等离散方法求解无粘的欧拉方程或双曲型方程时，理想的离散格式（如中心差分）往往是不稳定的。为了抑制非物理的高频振荡（吉布斯现象）并稳定计算，数值格式必须包含某种形式的耗散机制。这种耗散在数学上等效于在原始的无粘方程中添加了一个粘性项，因此被称为“数值粘性”或“人工粘性”。其大小由离散格式的截断误差主导项决定。 3. 表现形式与分类 数值粘性可以根据其引入方式和性质进行分类： 固有数值粘性 ：某些低阶格式天然具有较大的数值粘性。例如，一阶迎风格式具有显著的耗散性，其数值粘性与网格尺寸Δx成正比（~O(Δx)）。这种粘性虽然能保证稳定性，但会过度抹平激波和接触间断，导致解的分辨率降低。 显式添加的数值粘性 ：在中心差分格式等本身无耗散的格式中，为了稳定计算，会显式地在方程中添加一个人工粘性项，其形式通常为系数乘以解的高阶导数（如ν∂²u/∂x²）。通过精心设计粘性系数ν，可以在稳定性和精度之间取得平衡。 高阶格式的数值粘性 ：高阶格式（如WENO、TVD格式）的数值粘性更小且具有自适应特性。在解的光滑区域，数值粘性极小（~O(Δx^r)，r为格式阶数），从而保持高精度；在间断附近，数值粘性会自动增大，以捕捉激波并抑制振荡，实现高分辨率。 4. 作用与影响 数值粘性是一把双刃剑： 积极作用 ： 保证稳定性 ：它是许多显式格式能够稳定求解双曲型问题的必要条件。 捕捉激波 ：在无粘方程中，激波是间断面。数值粘性通过将间断抹平为一个在有限网格内变化的过渡层，使得激波能够在计算中得以表现。 抑制非物理振荡 ：防止在间断附近出现数值解的高频振荡。 消极影响 ： 引入耗散误差 ：过大的数值粘性会使激波变宽，接触间断过度扩散，从而降低解的精度和分辨率。 影响小尺度结构 ：可能抹掉流场中重要的涡结构等精细特征。 5. 控制与设计 现代计算数学的核心挑战之一是如何精确地控制和设计数值粘性。 目标 ：目标是使数值粘性在满足稳定性和间断捕捉要求的同时，尽可能小，并且只在必要的区域（如间断处）起作用。 方法 ：这通常通过构造 高分辨率格式 来实现，例如通量限制器、TVD、ENO/WENO等方法。这些方法能够根据解的光滑性自适应地调整数值通量，从而智能地控制数值粘性的大小和分布，在光滑区保持高阶精度，在间断区保持单调性。