可测函数的等度连续性 等度连续性是函数族的一种重要性质，它描述了函数族中所有函数在连续性上的一种“一致”行为。这个概念在实分析、泛函分析以及逼近论中都有重要应用。 从连续性到一致连续性 回顾连续性 ：首先，我们回忆一个实值函数 \(f\) 在某点 \(x_ 0\) 连续的定义。直观上说，当自变量 \(x\) 靠近 \(x_ 0\) 时，函数值 \(f(x)\) 也必须靠近 \(f(x_ 0)\)。精确地说，对于任意给定的正数 \(\epsilon > 0\)，都存在一个正数 \(\delta > 0\)，使得只要 \(|x - x_ 0| < \delta\)，就有 \(|f(x) - f(x_ 0)| < \epsilon\)。这里需要注意的是，这个 \(\delta\) 通常依赖于三个因素：给定的 \(\epsilon\)、所考察的点 \(x_ 0\)、以及函数 \(f\) 本身。 一致连续性 ：如果一个函数 \(f\) 在某个区间（或更一般的集合）上每一点都连续，并且对于给定的 \(\epsilon > 0\)，我们能找到一个对所有点 \(x_ 0\) 都“通用”的 \(\delta > 0\)，使得上述连续性条件成立，那么我们就称函数 \(f\) 在该区间上是一致连续的。也就是说，\(\delta\) 只依赖于 \(\epsilon\)，而不依赖于点的位置 \(x_ 0\)。 引入函数族与等度连续性 问题延伸 ：现在，我们考虑的不再是单个函数，而是一族函数 \(\mathcal{F} = \{ f_ i \}_ {i \in I}\)，其中 \(I\) 是一个指标集。我们很自然地会问：这一族函数是否在连续性上表现出某种“一致性”？ 等度连续性定义 ：设 \(\mathcal{F}\) 是定义在某个度量空间 \((X, d)\) 上的一族函数（值域也是度量空间，如实数轴）。如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，都存在一个 \(\delta > 0\)，使得对于族 \(\mathcal{F}\) 中的 每一个 函数 \(f\)，以及 \(X\) 中的 每一对 满足 \(d(x, y) < \delta\) 的点 \(x, y\)，都有 \(|f(x) - f(y)| < \epsilon\)，那么我们就称函数族 \(\mathcal{F}\) 是 等度连续 的。 核心理解 ：这个定义的关键在于，我们找到的 \(\delta\) 是“万能”的。它同时适用于函数族里的 所有函数 和定义域里的 所有点 。这意味着，族中所有函数的“连续强度”被一个统一的标准（即 \(\delta\)）所控制。它们不仅各自连续，而且在“多么连续”这一点上是“平等”的。 点态等度连续性 有时，整个函数族在定义域上满足等度连续性的要求可能太强。我们可以定义一个稍弱的概念： 点态等度连续性 。 如果对于定义域 \(X\) 中的 某一个特定的点 \(x_ 0\) 和任意给定的 \(\epsilon > 0\)，都存在一个 \(\delta > 0\)，使得对于族 \(\mathcal{F}\) 中的 每一个 函数 \(f\) 和 \(X\) 中满足 \(d(x, x_ 0) < \delta\) 的 每一个 点 \(x\)，都有 \(|f(x) - f(x_ 0)| < \epsilon\)，那么我们就称函数族 \(\mathcal{F}\) 在点 \(x_ 0\) 是等度连续的。 如果一个函数族在定义域 \(X\) 的每一点都是等度连续的，我们就称该函数族是 点态等度连续 的。 与紧性相关的经典结果：阿尔泽拉-阿斯科利定理 等度连续性最重要的应用之一体现在 阿尔泽拉-阿斯科利定理 中。这个定理给出了函数列（或函数族）在连续函数空间中相对紧（即其闭包是紧集）的充要条件。 定理的一个常见形式是：考虑定义在 紧致 度量空间 \(X\) 上的一族实值（或复值）连续函数 \(\mathcal{F}\)。那么，\(\mathcal{F}\) 是相对紧的（在由一致范数诱导的拓扑下）当且仅当同时满足以下两个条件： \(\mathcal{F}\) 是 一致有界 的（即存在一个常数 \(M\)，使得族中所有函数的绝对值都不超过 \(M\)）。 \(\mathcal{F}\) 是 等度连续 的。 这个定理深刻揭示了等度连续性、有界性和紧性之间的内在联系，是分析学中研究函数空间结构的一个基石。 在实变函数中的意义 在实变函数论中，等度连续性常与 可测函数 的逼近和收敛性问题一起出现。例如，一个有用的结论是：如果一个可测函数序列在某个紧集上是一致有界且等度连续的，那么它必然包含一个一致收敛的子序列。这为处理某些积分和极限交换问题提供了工具。