量子力学中的Fock空间 Fock空间是量子力学中描述多粒子系统，特别是粒子数可变的系统（如光子场、声子场）的核心数学框架。它本质上是多个相同粒子希尔伯特空间的直和。 单粒子希尔伯特空间 考虑一个量子粒子，其状态存在于一个希尔伯特空间 H 中。例如，一个无自旋粒子的波函数 ψ(x) 存在于空间 L²(R³) 中。这个空间 H 就是单粒子希尔伯特空间，它包含了所有可能的单粒子量子态。 多粒子希尔伯特空间与对称性 当我们考虑 N 个全同粒子时，系统的态矢量本应存在于 N 个单粒子空间的张量积 H^⊗N = H ⊗ H ⊗ ... ⊗ H (N次) 中。然而，由于全同粒子的不可区分性，物理态必须是对粒子交换对称或反对称的。 对称化张量积（玻色子） ：对于玻色子（如光子），物理态空间是全对称子空间 H^⊙N。任意两个粒子交换，态矢量不变。 反对称化张量积（费米子） ：对于费米子（如电子），物理态空间是全反对称子空间 H^∧N。交换任意两个粒子，态矢量改变符号（遵循泡利不相容原理）。 Fock空间的构造 Fock空间的关键思想是创建一个可以容纳粒子数 N=0,1,2,3,... 所有可能情况的更大空间。它是通过将不同粒子数的希尔伯特空间进行（完备的）直和来实现的： F = C ⊕ H ⊕ H^(2) ⊕ H^(3) ⊕ ... 其中： C ：对应于 0 粒子态（真空态）的复数空间。通常记作 |0〉，满足 〈0|0〉=1。 H ：单粒子态空间。 H^(2) ：双粒子态空间。对于玻色子，这是 H^⊙2；对于费米子，这是 H^∧2。 H^(3) ：三粒子态空间，以此类推。 因此，Fock空间 F 中的一个一般矢量是如下形式的序列： Ψ = (ψ⁽⁰⁾, ψ⁽¹⁾, ψ⁽²⁾, ψ⁽³⁾, ...) 其中 ψ⁽⁰⁾ ∈ C（真空分量），ψ⁽¹⁾ ∈ H（单粒子分量），ψ⁽²⁾ ∈ H^(2)（双粒子分量），等等。 产生和湮灭算符 为了在Fock空间中方便地改变粒子数，我们引入了产生算符 (a^†) 和湮灭算符 (a)。 产生算符 a^†(f) ：其作用是在系统中“产生”一个处于单粒子态 f ∈ H 的粒子。它将一个 N 粒子态映射到一个 (N+1) 粒子态。 湮灭算符 a(f) ：其作用是从系统中“湮灭”一个处于单粒子态 f ∈ H 的粒子。它将一个 N 粒子态映射到一个 (N-1) 粒子态。对真空态作用湮灭算符得到零。 这些算符满足特定的对易关系或反对易关系，这编码了粒子的统计性质： 玻色子 ：满足 正则对易关系 [ a(f), a^†(g)] = 〈f|g〉 I, [ a(f), a(g)] = 0, [ a^†(f), a^†(g) ] = 0。 费米子 ：满足 正则反对易关系 {a(f), a^†(g)} = 〈f|g〉 I, {a(f), a(g)} = 0, {a^†(f), a^†(g)} = 0。 Fock空间的基 通过重复应用产生算符到真空态 |0〉上，可以构造出Fock空间的一组正交归一基。 对于玻色子 ：由于玻色子态是对称的，一个单粒子态可以被多个粒子占据。如果 {e_ i} 是单粒子空间 H 的一组正交归一基，那么Fock空间的基矢可以表示为 |n₁, n₂, n₃, ...〉，其中 n_ i 表示处于单粒子态 e_ i 上的粒子数（占据数），n_ i 可以是 0, 1, 2, ... 等任意非负整数。 对于费米子 ：由于泡利不相容原理，每个单粒子态 e_ i 最多只能被一个费米子占据。因此，Fock空间的基矢由一组指标集合来标记，表明哪些单粒子态被占据。例如，|1,0,1,0,...〉 表示第一个和第三个单粒子态被占据，其他态空着。 在量子力学中的应用 Fock空间是二次量子化（量子场论）的天然舞台。在量子光学、凝聚态物理等多体理论中，系统的哈密顿量通常用产生和湮灭算符来表示。例如，描述光子与原子相互作用的Jaynes-Cummings模型，或者描述晶格振动的声子哈密顿量，都是在相应的Fock空间上定义的。它使得处理粒子数不守恒的过程（如自发辐射）变得非常自然。