圆的旋轮线（摆线）
圆的旋轮线（又称摆线）是指一个圆在一条直线上无滑动地滚动时，圆上一定点所经过的轨迹。下面逐步展开讲解：
1. 基本定义与物理背景
- 设圆的半径为 \(r\)，在直角坐标系中，让圆沿 \(x\) 轴向右滚动。
- 初始时，圆的圆心位于 \((0, r)\)，圆上的定点 \(P\) 位于原点 \((0, 0)\)（即圆与直线相切于点 \(P\)）。
- 当圆滚动角度 \(\theta\)（弧度）时，圆心移动到 \((r\theta, r)\)（因为滚动距离等于弧长 \(r\theta\)）。
2. 点的坐标推导
- 从圆心位置出发，点 \(P\) 相对于圆心的位置由旋转角度 \(\theta\) 决定。
- 由于圆是逆时针滚动，点 \(P\) 在圆上的相对位置从最低点开始，其相对于圆心的坐标为：
\[ ( -r\sin\theta, -r\cos\theta ) \]
（注意：初始时 \(\theta = 0\)，点 \(P\) 在圆心正下方，故相对坐标为 \((0, -r)\)）。
- 因此点 \(P\) 的绝对坐标为：
\[ x = r\theta - r\sin\theta = r(\theta - \sin\theta) \]
\[ y = r - r\cos\theta = r(1 - \cos\theta) \]
这就是摆线的参数方程。
3. 几何性质
- 弧长：摆线一拱（\(\theta \in [0, 2\pi]\)）的弧长公式为：
\[ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} d\theta \]
计算得 \(dx/d\theta = r(1 - \cos\theta),\ dy/d\theta = r\sin\theta\)，代入后：
\[ L = r \int_0^{2\pi} \sqrt{(1 - \cos\theta)^2 + \sin^2\theta} d\theta = r \int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos\theta} d\theta \]
利用 \(1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)\)，得 \(L = 8r\)。
结论：一拱的弧长是圆半径的 8 倍。
- 面积：摆线一拱与 \(x\) 轴围成的面积为：
\[ A = \int_0^{2\pi r} y dx = \int_0^{2\pi} r(1 - \cos\theta) \cdot r(1 - \cos\theta) d\theta = r^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos\theta)^2 d\theta \]
展开积分得 \(A = 3\pi r^2\)（即旋转圆面积的 3 倍）。
4. 等时性与最速降线
- 摆线具有等时性：从摆线上任意位置释放的质点，仅受重力作用沿摆线滑动到最低点的时间相同。
- 这一性质与最速降线问题相关：在重力作用下，质点从一点到另一点的最快路径是摆线（而非直线）。
5. 拓展变体
- 内摆线与外摆线：若点 \(P\) 在圆内（或圆外）固定距离上，轨迹称为内摆线（或外摆线）。
- 摆线的渐屈线：摆线的渐屈线是另一条相同的摆线，平移后与原摆线重合。
通过以上步骤，你可以从直观的物理背景深入到参数方程、几何度量，再到动力学性质，全面理解摆线的数学结构。是否需要进一步讲解内摆线或最速降线的证明细节？