哈尔测度的可微性 第一步：回顾哈尔测度的基本概念 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一种特殊测度，它具有平移不变性。具体来说，对于一个局部紧拓扑群 \( G \)，其上的哈尔测度 \( \mu \) 满足对任意可测集 \( A \subset G \) 和任意群元素 \( g \in G \)，有 \( \mu(gA) = \mu(A) \)（左平移不变）或 \( \mu(Ag) = \mu(A) \)（右平移不变）。哈尔测度在相差一个正数因子的意义下是唯一的。理解哈尔测度的可微性，首先需要明确我们是在讨论一个测度关于另一个测度的导数，这通常涉及拉东-尼科迪姆导数。 第二步：定义测度的可微性 在实变函数论中，一个测度 \( \nu \) 关于另一个测度 \( \mu \) 的可微性是通过拉东-尼科迪姆导数来描述的。如果存在一个可测函数 \( f \)（称为拉东-尼科迪姆导数），使得对于所有可测集 \( E \)，有 \( \nu(E) = \int_ E f \, d\mu \)，则称 \( \nu \) 关于 \( \mu \) 绝对连续，记作 \( \nu \ll \mu \)，并且函数 \( f \) 是 \( \nu \) 关于 \( \mu \) 的导数，记作 \( f = \frac{d\nu}{d\mu} \)。哈尔测度的可微性问题，就是研究在什么条件下，一个测度（特别是另一个哈尔测度）关于给定的哈尔测度是绝对连续的，从而存在拉东-尼科迪姆导数。 第三步：哈尔测度可微性的核心问题——模函数 对于一个局部紧拓扑群 \( G \)，它可能同时存在左哈尔测度 \( \mu_ l \) 和右哈尔测度 \( \mu_ r \)。一般来说，它们并不相同。一个核心问题是：右哈尔测度 \( \mu_ r \) 关于左哈尔测度 \( \mu_ l \) 是否绝对连续？答案是肯定的，并且它们的拉东-尼科迪姆导数由一个称为模函数（Modular Function）的群同态给出。 模函数 \( \Delta: G \to \mathbb{R}_ {>0} \) 定义为满足以下关系的函数： \[ \mu_ r(A) = \int_ A \Delta(g^{-1}) \, d\mu_ l(g) \quad \text{或等价地} \quad \frac{d\mu_ r}{d\mu_ l}(g) = \Delta(g^{-1}) \] 更常见的形式是，对于任意可积函数 \( f \) 和任意 \( g \in G \)，有： \[ \int_ G f(xg) \, d\mu_ l(x) = \Delta(g)^{-1} \int_ G f(x) \, d\mu_ l(x) \] 这个关系揭示了左哈尔测度在右平移下的行为。模函数 \( \Delta \) 是一个连续群同态（从乘法群 \( G \) 到正实数乘法群）。 第四步：幺模群与可微性的特殊情况 如果群 \( G \) 的模函数 \( \Delta \) 恒等于 1，即 \( \Delta(g) \equiv 1 \)，则称 \( G \) 为幺模群（Unimodular Group）。在这种情况下，左哈尔测度和右哈尔测度相等（或成比例常数倍，但由于唯一性，我们通常将它们视为同一个测度）。此时，右哈尔测度关于左哈尔测度的拉东-尼科迪姆导数就是常数函数 1： \[ \frac{d\mu_ r}{d\mu_ l} = 1 \] 这意味着在幺模群上，左哈尔测度和右哈尔测度是“不可区分”的，它们的可微性关系是平凡的。常见的幺模群包括阿贝尔群、紧群和离散群。 第五步：在非幺模群上的应用与意义 在非幺模群（\( \Delta \not\equiv 1 \)）上，哈尔测度的可微性（即存在非平凡的拉东-尼科迪姆导数 \( \Delta(g^{-1}) \)）具有重要的理论和应用价值。 调和分析 ：在定义群代数和对合运算时，模函数是必不可少的。例如，函数 \( f \) 的卷积运算需要模函数来保证定义的合理性。 表示理论 ：在构建群在 \( L^p \) 空间上的表示时，模函数会出现在算子范数的计算中。 几何 ：对于某些李群，其模函数与群的几何结构（如体积形式在群作用下的变化）密切相关。 总结 ：哈尔测度的可微性，本质上是研究不同哈尔测度（左与右）之间的绝对连续关系。这一关系由一个称为模函数的群同态完全刻画。在幺模群上，这种关系是平凡的（导数为1）；在非幺模群上，模函数作为拉东-尼科迪姆导数，深刻地影响了在该群上进行的分析学和几何学的诸多方面。