博雷尔可测函数 基础概念回顾与动机 在实变函数中，我们已经讨论过 可测函数 （定义在测度空间上，使得原像保持可测性的函数）。现在，我们特别关注定义在 博雷尔集 （由开集生成的σ-代数）上的函数。若函数 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 满足对任意博雷尔集 \( B \subseteq \mathbb{R} \)，其原像 \( f^{-1}(B) \) 也是博雷尔集，则称 \( f \) 为 博雷尔可测函数 。 关键点 ：博雷尔可测函数是可测函数的特例，其特殊性在于σ-代数限定为博雷尔σ-代数。这一定义避免了依赖勒贝格测度的完备性，仅依赖于拓扑结构。 博雷尔可测性的等价刻画 博雷尔可测性可通过更简单的条件验证： \( f \) 是博雷尔可测的当且仅当对任意开集 \( U \subseteq \mathbb{R} \)，\( f^{-1}(U) \) 是博雷尔集。 进一步，由于博雷尔σ-代数由开区间生成，只需验证对任意区间 \( (a, \infty) \)，原像 \( f^{-1}((a, \infty)) \) 是博雷尔集即可。 意义 ：这一简化源于σ-代数的生成性质，使得验证可测性只需检验生成元。 博雷尔可测函数的运算封闭性 博雷尔可测函数类具有极强的封闭性： 若 \( f, g \) 博雷尔可测，则 \( f+g \)、\( f \cdot g \)、\( \max(f, g) \) 及复合函数 \( f \circ g \) 仍博雷尔可测。 若 \( \{f_ n\} \) 是一列博雷尔可测函数，则 \( \sup_ n f_ n \)、\( \limsup_ {n\to\infty} f_ n \) 等点态极限函数也博雷尔可测。 对比 ：此性质优于一般可测函数，因为复合函数的可测性在一般测度空间中需额外条件（如 \( g \) 的像集可测），但博雷尔可测函数直接保持复合可测性。 与连续函数及贝尔函数类的关系 所有连续函数 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 均是博雷尔可测的（因为开集的原像是开集，开集属于博雷尔集）。 更一般地， 贝尔函数类 （由连续函数通过点态极限操作生成的函数）是博雷尔可测函数的子集。 深层意义 ：博雷尔可测函数可视为连续函数的“可测扩张”，且其结构可通过贝尔分层（先前已讨论）精细分析。 博雷尔可测函数在测度论中的应用 在 里斯表示定理 中，博雷尔可测函数是定义拉东测度积分的关键对象。 在概率论中，随机变量即定义为博雷尔可测函数，其分布由博雷尔集上的概率测度描述。 总结 ：博雷尔可测函数搭建了拓扑、测度与概率理论之间的桥梁，其性质保证了分析工具的广泛适用性。