勒贝格密度定理 1. 引言与背景 勒贝格密度定理是实分析中刻画点集局部结构的重要结果，它描述了可测集在几乎每个点附近的“密度”行为。直观上，一个点如果属于可测集 \(E\)，那么当我们将视野缩小到该点附近时，\(E\) 所占的比例（即密度）应该趋近于 1；如果点不属于 \(E\)，则该比例应趋近于 0。该定理是勒贝格微分定理的直接推论，但因其在几何测度论和分析中的广泛应用而单独成为重要概念。 2. 密度点的定义 设 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 为勒贝格可测集，\(x \in \mathbb{R}^n\)。点 \(x\) 处关于集合 \(E\) 的密度定义为极限： \[ D_ E(x) = \lim_ {r \to 0^+} \frac{\mathcal{L}^n(E \cap B(x, r))}{\mathcal{L}^n(B(x, r))} \] 其中 \(B(x, r)\) 是以 \(x\) 为中心、\(r\) 为半径的开球，\(\mathcal{L}^n\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的勒贝格测度。若极限存在且值为 1，则称 \(x\) 为 \(E\) 的 勒贝格密度点 ；若极限存在且值为 0，则称 \(x\) 为 \(E\) 的 勒贝格散点 。 3. 定理的严格表述 勒贝格密度定理断言： 若 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的勒贝格可测集，则几乎处处属于 \(E\) 的点都是 \(E\) 的密度点，即： \[ \mathcal{L}^n\left( \left\{ x \in E : D_ E(x) \neq 1 \right\} \right) = 0. \] 同时，几乎处处不属于 \(E\) 的点都是 \(E\) 的散点，即： \[ \mathcal{L}^n\left( \left\{ x \in \mathbb{R}^n \setminus E : D_ E(x) \neq 0 \right\} \right) = 0. \] 4. 定理的证明思路 该定理可通过以下步骤推导： 化为局部问题 ：只需对任意有界可测集 \(E\) 证明结论成立。 应用勒贝格微分定理 ：考虑函数 \(f = \chi_ E\)（\(E\) 的示性函数）。由勒贝格微分定理，几乎处处的 \(x\) 满足： \[ \lim_ {r \to 0^+} \frac{1}{\mathcal{L}^n(B(x, r))} \int_ {B(x, r)} |f(y) - f(x)| \, d\mathcal{L}^n(y) = 0. \] 分情况讨论 ： 若 \(x \in E\)，则 \(f(x) = 1\)，上述极限化为 \(\lim_ {r \to 0^+} \frac{\mathcal{L}^n(E \cap B(x, r))}{\mathcal{L}^n(B(x, r))} = 1\)。 若 \(x \notin E\)，则 \(f(x) = 0\)，极限化为密度趋近于 0。 结论 ：不满足密度条件的点集包含于一个零测集中，故定理得证。 5. 密度点的几何意义 密度点反映了集合在微观尺度下的“充满性”。例如： 若 \(x\) 是 \(E\) 的密度点，则无论多小的半径 \(r\)，\(E\) 在 \(B(x, r)\) 中均占主导比例（接近全测度）。 若 \(E\) 是开集，则其每一点都是密度点；但若 \(E\) 是康托尔集（零测集），则其每一点的密度为 0（因为测度比始终为 0）。 6. 非密度点的性质与实例 不满足密度条件的点称为 异常点 ，它们可能出现在集合的边界或稀疏处。例如： 若 \(E\) 是可测集，其边界点可能密度介于 0 和 1 之间（如正方形边界上的点密度为 1/2）。 但定理保证异常点全体是零测集，因此可测集的“典型点”在局部几乎完全被该集覆盖。 7. 推广与应用 推广到一般测度 ：在欧氏空间上，若测度 \(\mu\) 对勒贝格测度绝对连续，类似结论成立。 几何测度论 ：密度定理是研究集合正则性（如rectifiability）的基础，用于判断集合是否在某种意义下“近似于光滑曲面”。 分形几何 ：分形集的密度点可能具有复杂结构，但定理仍保证几乎处处性成立。