仿射代数簇的坐标环 第一步：从仿射代数簇到坐标环的定义 仿射代数簇 \( V \subseteq \mathbb{A}^n \) 是多项式方程组 \( f_ 1(x_ 1, \dots, x_ n) = 0, \dots, f_ r(x_ 1, \dots, x_ n) = 0 \) 的解集。其 坐标环 \( k[ V] \) 定义为多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \) 商去由 \( V \) 的定义理想 \( I(V) \)（即所有在 \( V \) 上为零的多项式构成的理想）得到的环： \[ k[ V] = k[ x_ 1, \dots, x_ n ] / I(V). \] 直观上，坐标环中的元素是多项式函数在 \( V \) 上的限制，两个多项式在 \( k[ V ] \) 中相等当且仅当它们在 \( V \) 上取值完全相同。 第二步：坐标环的代数与几何对应 坐标环实现了代数几何的基本思想——几何对象与代数结构的对应： 点与极大理想 ：\( V \) 中的每个点 \( p = (a_ 1, \dots, a_ n) \) 对应 \( k[ V] \) 的一个极大理想 \( \mathfrak{m}_ p \)，即由函数 \( x_ i - a_ i \) 在 \( k[ V ] \) 中生成的理想。 闭子集与理想 ：\( V \) 的闭子集（在Zariski拓扑下）对应 \( k[ V ] \) 中包含 \( I(V) \) 的根理想。 正则映射与环同态 ：若 \( V \subseteq \mathbb{A}^n, W \subseteq \mathbb{A}^m \) 是仿射簇，则态射 \( \phi: V \to W \) 诱导 \( k[ W] \to k[ V ] \) 的 \( k \)-代数同态（通过复合函数），反之亦然。 第三步：坐标环的代数性质反映几何性质 坐标环的环论性质直接对应簇的几何性质： 既约性与整性 ：若 \( V \) 是不可约簇，则 \( I(V) \) 是素理想，故 \( k[ V] \) 是整环（此时 \( k[ V ] \) 的函数域对应 \( V \) 的有理函数域）。 维数 ：\( V \) 的维数等于 \( k[ V ] \) 的Krull维数（即素理想链的最大长度）。 光滑性 ：点 \( p \in V \) 处光滑当且仅当局部环 \( (k[ V])_ {\mathfrak{m}_ p} \) 是正则环。 第四步：坐标环的推广与深层应用 仿射概形 ：在概形论中，任意环 \( R \) 可构造仿射概形 \( \operatorname{Spec} R \)，其结构层由 \( R \) 局部化得到。仿射簇的坐标环对应有限生成既约 \( k \)-代数。 凝聚层 ：坐标环上的模对应 \( V \) 上的凝聚层，例如向量丛对应局部自由模。 上同调计算 ：仿射簇的上同调可通过坐标环的复形计算（如Čech上同调）。 总结 坐标环是连接代数与几何的核心桥梁，通过研究其理想结构、模论性质及局部化，可深入理解簇的几何特征，并为更高层次的概形理论奠定基础。