圆的曲率 我们从一个圆形入手。想象一个标准的圆，比如半径为 \( r \) 的圆。曲率描述的是曲线在某一点处弯曲程度的数值度量。对于圆来说，曲率有一个非常简洁的性质： 圆上任意一点的曲率都相等 ，并且其值恰好等于半径的倒数，即 \( \kappa = \frac{1}{r} \)。半径越小，曲率越大，表明弯曲得越厉害；半径越大，曲率越小，曲线越平缓。这是一个完美的起点，因为它直观地展示了曲率的核心概念——衡量弯曲的“急缓”。 现在，我们将这个概念从圆推广到一般的平面曲线。对于一条非圆的平滑曲线（例如抛物线、正弦曲线），其上不同点的弯曲程度显然是不同的。那么，如何精确定义曲线上某一点 \( P \) 的曲率呢？几何上的方法是 利用“最贴近”该点的圆来度量 。这个圆被称为曲线在点 \( P \) 的 密切圆 。 寻找密切圆的过程如下： 过曲线上的点 \( P \) 及其邻近两点，可以确定一个圆。 当这两个邻近点无限趋近于点 \( P \) 时，这个圆的极限位置就是曲线在点 \( P \) 的密切圆。 密切圆在点 \( P \) 与曲线拥有相同的切线（一阶接触），并且有相同的弯曲程度（二阶接触）。因此，我们很自然地用这个密切圆的曲率来定义曲线在该点的曲率。也就是说，曲线在点 \( P \) 的曲率 \( \kappa \) 等于其密切圆曲率的绝对值，即 \( \kappa = \frac{1}{R} \)，其中 \( R \) 是密切圆的半径，称为 曲率半径 。 接下来，我们需要一个能够实际计算的公式。对于一条由直角坐标方程 \( y = f(x) \) 给出的曲线，其曲率 \( \kappa \) 的计算公式为： \[ \kappa = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} \] 其中 \( y' \) 和 \( y'' \) 分别是函数的一阶和二阶导数。这个公式的推导涉及到微积分和前面提到的密切圆几何性质。它告诉我们，曲率的大小直接取决于曲线在该点的切线方向的变化率（由二阶导数 \( y'' \) 体现）以及切线本身的倾斜程度（由一阶导数 \( y' \) 体现）。当曲线在某点有拐点时（\( y'' = 0 \)），曲率为零，表示该点附近曲线不弯曲（如直线）。 最后，我们探讨曲率的一个关键几何应用： 曲率中心与渐屈线 。密切圆的圆心称为曲线在该点的 曲率中心 。当我们沿着曲线移动点 \( P \) 时，其曲率中心也会随之移动。所有这些曲率中心的轨迹形成一条新的曲线，称为原曲线的 渐屈线 。而原曲线则被称为这条渐屈线的 渐伸线 。渐屈线就像是记录了原曲线所有弯曲“瞬时中心”的包络。一个有趣的性质是，渐屈线的切线恰好是原曲线的法线。研究渐屈线有助于我们理解原曲线的整体弯曲特性，在工程学（如齿轮设计）和物理学中都有重要应用。