分析学词条：富比尼定理
富比尼定理是数学分析，特别是实分析和测度论中的一个基本且强大的定理。它为我们提供了在计算高维空间（例如二维平面、三维空间等）上的积分时，将其转化为重复的、逐次的一维积分的方法。简单来说，它允许我们通过“先对y积分，再对x积分”或者“先对x积分，再对y积分”的方式来计算一个二重积分，并且保证在适当的条件下，这两种积分顺序会得到相同的结果。
第一步：从黎曼积分直观理解
在初等的微积分课程中，你已经学习过二重积分。例如，计算一个定义在矩形区域 \(R = [a, b] \times [c, d]\) 上的函数 \(f(x, y)\) 的二重积分：
\[\iint_R f(x, y)\, dA \]
我们通常将其化为累次积分：
\[\int_a^b \left( \int_c^d f(x, y)\, dy \right) dx \quad \text{或} \quad \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)\, dx \right) dy \]
在黎曼积分的框架下，我们通常要求函数 \(f(x, y)\) 是连续的，或者至多有有限个间断点，以保证这两种积分顺序是可行的且结果相等。这就是富比尼定理在黎曼积分下的雏形。
核心思想：将高维积分分解为一系列低维积分。
第二步：进入测度论框架——问题的深化
然而，黎曼积分在处理更复杂、更不规则的函数时显得力不从心。这正是我们引入勒贝格测度和勒贝格积分的原因（这个词条你已学过）。在测度论中，我们考虑的是更一般的测度空间。
现在，我们考虑两个σ-有限的测度空间 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{B}, u)\)。
- \(X, Y\) 是集合。
- \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) 是它们上的σ-代数（可测集族）。
- \(\mu, u\) 是相应的测度。
- “σ-有限”意味着整个空间可以被可数个有限测度的集合覆盖。例如，实数轴上的勒贝格测度是σ-有限的，因为它可以被区间 \([-n, n]\) 覆盖。
这两个空间的乘积空间是 \(X \times Y\)，其上可以构造一个乘积σ-代数 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) 和一个乘积测度 \(\mu \times u\)。富比尼定理正是在这个更一般、更坚实的背景下阐述的。
第三步：富比尼定理的正式表述
富比尼定理有几种形式，取决于函数的性质（非负可测或可积）。我们来看最常用的两种。
情形一：非负可测函数（Tonelli定理）
这是富比尼定理的强大版本，通常被称为托内利定理。
定理（Tonelli）： 设 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{B}, u)\) 是σ-有限的测度空间，且 \(f: X \times Y \to [0, \infty]\) 是一个非负的 \((\mathcal{A} \otimes \mathcal{B})\)-可测函数。那么：
- 对于几乎处处（关于测度 \(\mu\)）的 \(x \in X\)，函数 \(y \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{B}\)-可测的。
- 函数 \(x \mapsto \int_Y f(x, y)\, du(y)\) 是 \(\mathcal{A}\)-可测的。
- 交换积分顺序的等式成立：
\[ \int_{X \times Y} f\, d(\mu \times u) = \int_X \left( \int_Y f(x, y)\, du(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y)\, d\mu(x) \right) du(y) \]
关键点：只要函数是非负的，你就可以“放心地”交换积分次序，无需事先知道函数是否可积。积分值可能是有限的，也可能是无穷大，但等号始终成立。
情形二：可积函数（Fubini定理）
这是通常所说的富比尼定理的标准形式。
定理（Fubini）： 设 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{B}, u)\) 是σ-有限的测度空间，且 \(f: X \times Y \to \mathbb{C}\) 是一个关于乘积测度 \(\mu \times u\) 的可积函数（即 \(\int_{X \times Y} |f|\, d(\mu \times u) < \infty\)）。那么：
- 对于几乎处处的 \(x \in X\)，函数 \(y \mapsto f(x, y)\) 是 \(u\)-可积的。
- 函数 \(g(x) = \int_Y f(x, y)\, du(y)\) 是 \(\mu\)-可积的。
- 交换积分顺序的等式成立：
\[ \int_{X \times Y} f\, d(\mu \times u) = \int_X \left( \int_Y f(x, y)\, du(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y)\, d\mu(x) \right) du(y) \]
关键点：如果函数（的绝对值）在整个乘积空间上的积分是有限的（即可积），那么它的切片函数也几乎处处可积，并且积分顺序可以交换。
第四步：两个定理的协作使用与实践意义
在实际应用中，Tonelli定理和Fubini定理经常携手使用。一个标准的操作流程是：
“Fubini-Tonelli”检验法：
当你需要判断一个函数是否满足富比尼定理的条件，并希望交换积分次序时，可以这样做：
- 首先，考虑函数的绝对值 \(|f(x, y)|\)。
- 应用Tonelli定理于这个非负函数 \(|f|\)。
\[ \int_{X \times Y} |f|\, d(\mu \times u) = \int_X \left( \int_Y |f(x, y)|\, du(y) \right) d\mu(x) \]
- 计算右边的累次积分。如果结果是有限的，那么根据定义，原始函数 \(f\) 就是可积的（满足了Fubini定理的条件）。
- 既然 \(f\) 可积，你现在就可以放心地应用Fubini定理到 \(f\) 本身，交换其积分顺序。
实践意义：
- 简化计算：很多复杂的二重或三重积分，通过交换次序会变得非常简单。
- 理论证明：它是证明许多其他重要定理的基石工具。例如，在证明卷积的性质、傅里叶变换的性质时，富比尼定理是必不可少的。
- 概率论：在概率论中，对于联合分布、边缘分布和期望的计算，富比尼定理起着核心作用。
第五步：一个经典的反例
理解定理的条件至关重要。如果函数不是非负的，也不是可积的，那么交换积分顺序可能会导致错误的结果。
例子：考虑函数 \(f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\)，定义在矩形区域 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上（原点处定义函数值为0）。
- 如果我们先对y积分，再对x积分：
\[ \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x, y) dy \right) dx = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} \]
- 如果我们先对x积分，再对y积分：
\[ \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x, y) dx \right) dy = \int_0^1 \frac{-1}{1+y^2} dy = -\frac{\pi}{4} \]
两个结果截然不同！原因在于，这个函数不满足Fubini定理的条件。你可以验证，其绝对值 \(|f(x, y)|\) 在原点附近的行为非常“恶劣”，导致它在 \([0,1]^2\) 上的积分是无穷大的（即函数不可积）。因此，在这种情况下，我们不能随意交换积分顺序。
这个反例深刻地说明了，富比尼定理中关于“非负性”或“可积性”的条件是不可或缺的。