圆的渐屈线与渐伸线的几何性质

圆的渐屈线（evolute）和渐伸线（involute）是一对互逆的曲线，它们的定义和关系如下：

1. 渐伸线的定义
   • 在圆上固定一点，假设有一根无弹性的细线紧密缠绕在圆周上。将线头从固定点沿切线方向逐渐拉开，线头在平面上的轨迹即为圆的渐伸线。
   • 数学描述：设圆的半径为 \(R\)，圆心为原点。从圆上一点 \(A = (R, 0)\) 开始，渐伸线的参数方程为：

\[ x = R(\cos\theta + \theta\sin\theta), \quad y = R(\sin\theta - \theta\cos\theta) \]

其中 \(\theta\) 是绕圆心转过的角度（弧度）。

2. 渐屈线的定义

   • 渐屈线是渐伸线的曲率中心的轨迹。对于圆的渐伸线，其渐屈线恰好是圆本身。
   • 原因：圆的渐伸线上任意一点的曲率中心，正好是渐伸线对应时刻的切点（即缠绕线与圆相切的点），因此渐屈线为原圆。

3. 互逆关系

   • 若将渐伸线作为原曲线，其渐屈线是圆；反之，若以圆为渐伸线，则其渐屈线是另一条渐伸线（需重新定义起点）。
   • 一般性质：渐屈线的渐伸线会还原为原曲线（需注意起点选择）。

4. 几何性质

   • 渐伸线与圆的切线垂直：渐伸线上任意一点的切线方向，与对应圆上的切点处的半径垂直。
   • 渐伸线的弧长等于圆的切线长：从固定点展开的线段长度正好是 \(R\theta\)。

5. 应用实例

   • 工程中常用渐伸线齿轮，因其啮合时传动平稳，接触点轨迹为直线，减少磨损。