可压缩变换 基本定义与动机 在遍历理论中，我们主要研究保测变换，即保持参考测度不变的变换。然而，有一类更广泛的变换也具有重要意义，它们就是可压缩变换。一个可测变换 \(T: X \to X\) 被称为关于一个测度 \(\mu\) 是 可压缩的 ，如果它对测度是“收缩”的，即对于所有可测集 \(A\)，有 \(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\)。直观上，这意味着变换 \(T\) 可能将点“聚集”起来，导致某些集合在逆映射下的“质量”小于其原始质量。研究这类变换有助于理解非保测的动力学行为。 与保测变换的关键区别 保测变换满足 \(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\)，这是一种对称性。可压缩变换放松了这一要求，只要求不等式成立。一个重要的推论是，对于可压缩变换，其转移算子（在 \(L^1(\mu)\) 上）的范数可能小于或等于1，但不再像保测变换的转移算子那样是等距算子。这意味着在函数空间上，变换的“作用”是收缩的。 不变测度的存在性——博格-罗卡定理 可压缩变换研究中的一个核心结果是关于不变测度的存在性。对于一个可压缩变换 \(T\)，是否存在一个概率测度 \(\nu\)（可能与 \(\mu\) 等价，也可能是奇异的）使得 \(\nu\) 在 \(T\) 下是不变的（即 \(\nu(T^{-1}A) = \nu(A)\) 对所有可测集 \(A\) 成立）？博格-罗卡定理为此提供了肯定答案。该定理指出，如果 \(T\) 是连续可压缩变换（在某个拓扑空间上），那么存在一个 \(T\)-不变的概率测度。这个结论比保测系统中间类问题的解决要更为普遍。 遍历理论与算子理论的联系 对可压缩变换的研究自然导向其转移算子 \(U_ T\)（定义为 \(U_ T f = f \circ T\)）在 \(L^p\) 空间上的性质。由于 \(T\) 是可压缩的，\(U_ T\) 是 \(L^1(\mu)\) 上的压缩算子（即 \(\|U_ T f\|_ 1 \leq \|f\| 1\)）。分析这类算子的谱性质及其遍历极限（例如平均遍历定理 \(\frac{1}{n}\sum {k=0}^{n-1} U_ T^k f\) 的收敛性）是可压缩变换遍历理论的重要内容。虽然平均遍历定理在可压缩情形下仍然成立，但其极限算子的性质与保测情形有所不同。 应用与实例 可压缩变换在动力系统中有广泛的应用。一个典型的例子是区间 \([ 0,1]\) 上的映射 \(T(x) = \lambda x\)，其中 \(0 < \lambda < 1\)。关于勒贝格测度，这个映射是可压缩的。另一个重要的例子是随机过程理论中的“劣质”马尔可夫链，其转移概率所诱导的变换在路径空间上可能是可压缩的。研究这些系统的长期行为（如遍历性、混合性）时，可压缩性是一个需要处理的基本性质。