圆的渐缩线与渐伸线的几何性质

圆的渐缩线（evolute）和渐伸线（involute）是一对互逆的曲线，它们的定义和关系如下：

1. 渐伸线的定义
   • 在圆上绕一根绷紧的细线，固定一端并将线逐渐展开，线端点的轨迹即为圆的渐伸线。
   • 数学描述：设圆的半径为 \(R\)，渐伸线的参数方程为：

\[ \begin{cases} x = R(\cos t + t \sin t), \\ y = R(\sin t - t \cos t), \end{cases} \]

其中 \(t\) 为展开角度（弧度）。

2. 渐缩线的定义

   • 圆的渐缩线是其渐伸线曲率中心的轨迹。对于圆本身，其渐缩线退化为一个点（圆心），但更一般地，渐缩线定义为原曲线所有法线包络成的曲线。
   • 圆的渐伸线的渐缩线恰好是圆自身。

3. 几何性质

   • 渐伸线上任意一点的法线与圆相切，且切点到该点的线段长度等于圆的半径乘以展开角度（弧长）。
   • 渐伸线与所有法线垂直，而渐缩线是这些法线的包络。

4. 互逆关系

   • 若曲线 \(A\) 是曲线 \(B\) 的渐伸线，则 \(B\) 是 \(A\) 的渐缩线。这一关系在机械设计（如齿轮齿形）中有重要应用。

5. 推广到一般曲线

   • 对于任意光滑曲线，渐缩线可通过曲率中心构造，而渐伸线可通过“展开切线”生成，两者保持类似的互逆性质。