哈尔测度的存在性 哈尔测度的存在性定理是调和分析与拓扑群理论中的一个基石。它断言：在任意局部紧的豪斯多夫拓扑群上，存在一个在群作用下不变的（在乘法群的情况下是左不变的）、非零的、定义在博雷尔集上的正则测度。这个测度就是哈尔测度。理解这个定理需要循序渐进。 第一步：理解定理的舞台——局部紧豪斯多夫拓扑群 首先，我们需要明确哈尔测度定义在什么样的数学对象上。 群 ：一个集合 G，其上定义了一个二元运算（如乘法），满足结合律、存在单位元、每个元素存在逆元。 拓扑群 ：一个群 G，同时也是一个拓扑空间，并且群的乘法运算 (g, h) -> g·h 和求逆运算 g -> g⁻¹ 都是连续映射。这意味着群的结构和拓扑结构是相容的。 局部紧豪斯多夫拓扑群 ：这是对拓扑群的进一步要求。 豪斯多夫 ：拓扑空间中的任意两个不同点可以被不相交的开邻域分开。这保证了空间的“分离性”良好。 局部紧 ：空间中每一点都有一个紧的邻域（即该邻域的闭包是紧集）。实数集 R（加法群）就是一个典型例子，任意点的一个小开区间，其闭包是紧的（闭区间）。局部紧性是与测度正则性紧密相关的关键性质。 第二步：理解测度的“不变性”——哈尔测度的核心特征 哈尔测度最核心的性质是其在群作用下的不变性。 左不变哈尔测度 ：设 μ 是定义在 G 的博雷尔 σ-代数上的测度。如果对于任意博雷尔集 E ⊆ G 和任意群元素 g ∈ G，都有 μ(g·E) = μ(E) ，则称 μ 是左不变的。这里 g·E = { g·h | h ∈ E } 。直观上，用群元素 g 去“平移”一个集合 E，其测度大小保持不变。 右不变哈尔测度 ：类似地，如果 μ(E·g) = μ(E) ，则称 μ 是右不变的。 对于阿贝尔群（交换群），左不变和右不变是等价的。但对于非阿贝尔群，左哈尔测度和右哈尔测度可能不同。 第三步：逼近不变性——从函数到测度的构造思路 证明存在性的经典方法（由冯·诺依曼等人给出）的核心思想是“逼近”。我们不直接构造一个满足所有严格条件的测度，而是通过一系列近似于不变性的对象来逼近它。 初始对象——连续紧支撑函数 ：我们考虑定义在群 G 上的非负连续函数，且具有紧支撑（即函数在某个紧集外恒为零）。这类函数的集合记为 C_ c⁺(G)。 构造“平均”或“内容” ：对于一个固定的非零函数 f ∈ C_ c⁺(G)，我们可以用它来“测量”另一个函数 g ∈ C_ c⁺(G)。具体地，对于 g，我们寻找一组有限的群元素 {s_ i} 和正系数 {c_ i}，使得线性组合 ∑ c_i · f(s_i⁻¹ · x) 在 g 的支撑集上“覆盖” g（即处处大于等于 g）。所有这样的线性组合的系数和 ∑ c_i 的下确界，可以看作是用 f 作为“单位”去测量 g 所需的最小“代价”。我们记这个值为 (g : f)。 相对不变性 ：关键的一步是证明，对于任意三个非零函数 f, g, h ∈ C_ c⁺(G)，这个“内容”满足一个近似的不变性关系： (g : h) = (g : f) * (f : h) 。这个关系表明，当我们改变作为“测量单位”的函数时，测量结果以一种协调的方式变化。 取极限 ：现在我们固定一个参考函数 f₀。对于每个非零函数 f ∈ C_ c⁺(G)，我们可以定义一个线性泛函 I_ f 在 C_ c⁺(G) 上： I_f(g) = (g : f) / (f₀ : f) 。由于上述的相对不变性，当 f 的支撑“收缩”时（在某种滤子意义下），这些泛函 I_ f 会收敛到一个极限泛函 I。这个极限泛函 I 就是我们要找的哈尔积分。 第四步：从积分到测度——里斯表示定理的应用 一旦我们构造出了这个在 C_ c⁺(G) 上的正线性泛函 I（即满足 I(λg) = λI(g) 且 I(g₁+g₂) ≤ I(g₁)+I(g₂)），我们就可以应用一个强大的工具： 里斯表示定理 ：在局部紧豪斯多夫空间上，任何一个正线性泛函于连续紧支撑函数空间上，都唯一地对应一个正则博雷尔测度。 通过这个定理，我们由泛函 I 得到了一个正则博雷尔测度 μ。由于泛函 I 是通过具有不变性质的近似构造出来的极限，可以证明它对应的测度 μ 恰好满足左不变性，即 ∫_G g(x) dμ(x) = ∫_G g(h·x) dμ(x) 对所有连续紧支撑函数 g 成立，从而推出测度的左不变性。 第五步：唯一性与重要性 哈尔测度在相差一个正数乘法的意义下是唯一的。也就是说，如果 μ 和 ν 都是 G 上的左不变哈尔测度，那么存在常数 c > 0，使得 ν = cμ。这个唯一性定理的证明也依赖于上述的近似构造思想。 哈尔测度的存在性将勒贝格积分理论推广到了具有群结构的空间上，为在群上分析函数（如傅里叶分析）提供了基础，是抽象调和分析的起点。