圆的反演变换 圆的反演变换是平面几何中一种重要的几何变换，它通过一个给定的“反演圆”来建立点与点之间的一一对应关系。理解这个概念，我们可以从最基础的定义开始。 第一步：理解反演的基本定义 首先，我们需要一个“反演圆”。设有一个以点O为圆心、以r为半径的圆，我们称这个圆为“基圆”或“反演圆”。点O称为“反演中心”或“极点”，半径r称为“反演半径”。 对于一个异于点O的任意点P，我们定义它的“反演点”P‘为射线OP上的一个点，并且满足以下关系： OP · OP' = r² 这意味着： 如果点P在基圆外部（OP > r），那么它的反演点P'将在基圆内部（OP' < r）。 如果点P在基圆内部（OP < r），那么它的反演点P'将在基圆外部（OP' > r）。 如果点P恰好在基圆上（OP = r），那么它的反演点就是它本身（OP' = r）。因此，基圆上的点都是反演变换下的“不动点”。 第二步：探讨反演的重要性质 反演变换拥有几个非常优美且强大的性质，这些性质使其成为解决几何问题的有力工具。 自逆性 ：反演变换是它自身的逆变换。也就是说，如果点P'是点P的反演点，那么点P也是点P'的反演点。这直接从定义 OP · OP' = r² 即可得出。 将圆和直线互换 ：这是反演最核心的性质之一。 性质A ：一条不经过反演中心O的直线，其反演形是一个经过点O的圆。 性质B ：一个经过反演中心O的圆，其反演形是一条不经过点O的直线。 性质C ：一个不经过反演中心O的圆，其反演形是另一个不经过点O的圆。 特别地，与基圆正交的圆（即两圆在交点处的切线相互垂直），其反演形是它自身。 保角性 ：反演变换是保角变换。这意味着，如果两条曲线在某个点相交形成一个角度，那么它们的反演形曲线也会在对应的反演点相交形成相同的角度。这是反演变换被称为“共形变换”的原因。 第三步：应用与实例——证明共圆点 让我们通过一个经典例子来应用反演。问题是：证明“三角形的顶点、垂心以及三个垂足共六个点中，任意四点共圆”（这类圆称为“戴恩圆”或“六点圆”的一部分）。 我们可以巧妙地运用反演来简化证明： 选择三角形的垂心H作为反演中心，并任意选取一个反演半径r。 根据反演的性质B，由于三角形的外接圆经过顶点A, B, C，但它不经过垂心H（在锐角三角形中），所以它的反演形将是一条直线。 同时，从点H向对边作垂线，垂足为D, E, F。我们可以证明，这些垂足的反演点恰好落在上述那条直线上。 由于反演变换将共圆的点（A, B, C等）映射为共线的点，并且保角性保证了垂直关系的映射，通过分析这些映射后的共线关系，我们可以逆向推导出原图中多个四点共圆的关系。 这个例子展示了反演如何将一个复杂的共圆问题，转化为一个相对简单的共线问题，极大地简化了证明过程。