布莱克-舒尔斯-默顿偏微分方程（Black-Scholes-Merton PDE）
- 核心思想：无套利与对冲
- 布莱克-舒尔斯-默顿偏微分方程（BSM PDE）是期权定价理论的基石，其核心思想是通过构建一个无风险对冲组合来消除随机性，从而推导出期权价格必须满足的偏微分方程。
- 假设：标的资产价格 \(S_t\) 遵循几何布朗运动 \(dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\)，市场无摩擦（无交易成本、可连续交易），且存在无风险利率 \(r\)。
- 关键步骤：
- 设期权价格 \(V(S_t, t)\) 是资产价格和时间的函数，通过伊藤引理可得：
\[ dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S_t \frac{\partial V}{\partial S} dW_t. \]
- 构建对冲组合：卖出1份期权，买入 \(\frac{\partial V}{\partial S}\) 份标的资产（Delta对冲）。组合价值 \(\Pi = -V + \frac{\partial V}{\partial S} S\)。
- 组合的动态变化 \(d\Pi = -dV + \frac{\partial V}{\partial S} dS\)。代入 \(dV\) 和 \(dS\) 后，随机项 \(dW_t\) 被抵消，组合变为无风险。
- 由无套利原理，无风险组合的收益率必须等于无风险利率： \(d\Pi = r \Pi dt\)。代入后整理得：
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + rS \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V}{\partial S^2} - rV = 0. \]
这就是BSM PDE。
- 方程的经济含义与边界条件
- BSM PDE 描述了期权价格随时间 \(t\) 和资产价格 \(S\) 的变化规律：
- \(\frac{\partial V}{\partial t}\)（时间衰减）：表示期权价值随时间流逝的减少（Theta）。
- \(rS \frac{\partial V}{\partial S}\)（漂移项）：反映资产价格预期增长对期权价值的影响。
- \(\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial V}{\partial S^2}\)（凸性调整）：由资产价格波动引起的价值变化（Gamma效应）。
- \(-rV\)：期权资金成本的影响。
- 边界条件 取决于期权类型：
- 欧式看涨期权：
- 到期条件 \(V(S, T) = \max(S - K, 0)\)
- 边界条件 \(V(0, t) = 0\), \(V(S, t) \sim S\) 当 \(S \to \infty\)。
- 欧式看跌期权：
- \(V(S, T) = \max(K - S, 0)\)
- \(V(0, t) = Ke^{-r(T- t)}\), \(V(S, t) \to 0\) 当 \(S \to \infty\)。
- 边界条件 取决于期权类型：
- 从PDE到解析解（布莱克-舒尔斯公式）
- 通过变量替换（如 \(x = \ln S\) ）可将BSM PDE转化为热传导方程，进而求解：
- 欧式看涨期权价格：
- 通过变量替换（如 \(x = \ln S\) ）可将BSM PDE转化为热传导方程，进而求解：
\[ C(S, t) = S N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2), \]
其中：
\[ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}. \]
- \(N(\cdot)\) 是标准正态分布函数，\(d_2\) 实际是风险中性测度下期权到期处于实值的概率。
- PDE的数值解法
- 当解析解不可得（如美式期权、复杂路径依赖期权），需数值求解PDE：
- 有限差分法：将连续变量 \((S, t)\) 离散化为网格，用差分近似导数。
- 显式法：直接递推，但稳定性条件严格（ \(\Delta t\) 需足够小）。
- 隐式法：无条件稳定，需求解线性方程组。
- Crank-Nicolson法：结合显式和隐式的优点，精度更高。
- 显式法：直接递推，但稳定性条件严格（ \(\Delta t\) 需足够小）。
- 示例：对资产价格网格 \(S_j\) 和时间网格 \(t_n\)，设 \(V_j^n = V(S_j, t_n)\)，则：
\[ \frac{V_j^{n+1} - V_j^n}{\Delta t} + rS_j \frac{V_{j+1}^n - V_{j-1}^n}{2\Delta S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_j^2 \frac{V_{j+1}^n - 2V_j^n + V_{j-1}^n}{\Delta S^2} - rV_j^n = 0. \]
- 需注意边界处理（如 \(S \to 0\) 和 \(S \to \infty\) 的截断）和收敛性分析。
- PDE在扩展模型中的应用
- BSM PDE可扩展至更复杂模型：
- 随机波动率模型（如Heston模型）：PDE增加波动率维度，变为二维PDE。
- 跳跃-扩散模型：PDE转化为积分-微分方程，需特殊数值方法。
- 多资产期权：PDE变为高维，需蒙特卡洛或稀疏网格等方法避免维数灾难。
- 这些扩展凸显了PDE框架的灵活性，但也增加了数值计算的复杂性。
- BSM PDE可扩展至更复杂模型：