富比尼定理
好的，我们来循序渐进地学习富比尼定理。这个定理是实变函数论中处理高维空间上积分计算的基石，它允许我们将高维积分转化为累次积分，从而大大简化了计算。
第一步：动机与问题引入
在单变量函数的微积分中，我们计算定积分。当我们面对二元函数 \(f(x, y)\) 时，我们自然想要计算其在平面区域（比如矩形 \(R = [a, b] \times [c, d]\)）上的二重积分。
一个直观的想法是“先对y积分，再对x积分”或者“先对x积分，再对y积分”。也就是说，计算以下两种累次积分：
- \(\int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx\)
- \(\int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy\)
在“很好”的情况下（例如，\(f(x, y)\) 是连续函数），这两个累次积分是相等的，并且都等于二重积分 \(\iint_{R} f(x, y) \, dA\)。然而，当我们进入勒贝格积分的领域，处理更广泛、更“奇异”的函数（如不可测集上的函数、无界函数等）时，问题变得复杂。我们需要一个严格的理论来回答：在什么条件下，这两个累次积分相等，并且等于二重勒贝格积分？ 富比尼定理正是为此而生。
第二步：建立基础——乘积测度空间
要谈论高维积分，首先需要定义高维空间上的测度。富比尼定理通常建立在乘积测度空间上。
- 定义：设 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{B}, \nu)\) 是两个σ-有限的测度空间。那么，它们的乘积空间是 \(X \times Y\)。我们可以在这个乘积空间上构造一个σ-代数 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\)，它是由所有“可测矩形” \(A \times B\)（其中 \(A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\)）生成的σ-代数。
- 乘积测度：在 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) 上，存在唯一的测度 \(\mu \times \nu\)，称为乘积测度，使得对于任何可测矩形，有 \((\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B)\)。σ-有限性条件是为了保证乘积测度的唯一性。
关键例子：当我们取 \(X = Y = \mathbb{R}\)，\(\mu = \nu = m\)（一维勒贝格测度）时，乘积空间就是 \(\mathbb{R}^2\)，而乘积测度 \(m \times m\) 就是二维勒贝格测度。这正是我们最常用的场景。
第三步：切片与截口函数
在讨论累次积分之前，我们需要理解如何“固定一个变量看另一个变量”。
-
截口：对于乘积空间 \(X \times Y\) 中的一个子集 \(E\) 和一个固定的 \(x \in X\)，我们定义 \(E\) 在 \(x\) 处的（y方向）截口为：
\(E_x = \{ y \in Y : (x, y) \in E \}\)
类似地，对于固定的 \(y \in Y\)，可以定义 \(x\) 方向的截口 \(E^y\)。 -
函数截口：对于一个函数 \(f: X \times Y \to \mathbb{R}\) 和一个固定的 \(x \in X\)，我们定义函数 \(f_x: Y \to \mathbb{R}\) 为 \(f_x(y) = f(x, y)\)。类似地，可以定义 \(f^y(x) = f(x, y)\)。
一个重要的预备定理是：如果 \(E\) 是 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) 可测集，那么对于几乎所有的 \(x \in X\)，其截口 \(E_x\) 是 \(\mathcal{B}\) 可测的。 类似地，如果 \(f\) 是 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) 可测函数，那么对于几乎所有的 \(x\)，\(f_x\) 是 \(\mathcal{B}\) 可测的。这保证了我们在固定一个变量后，对另一个变量进行积分是有意义的。
第四步：富比尼定理的经典形式（非负函数情形）
这是定理最基础也是最强大的形式。
- 定理陈述：设 \((X, \mathcal{A}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{B}, \nu)\) 是σ-有限的测度空间，且 \(f\) 是 \(X \times Y\) 上的非负 \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) 可测函数。那么：
- 对于几乎处处的 \(x \in X\)，函数 \(y \mapsto f(x, y)\)（即 \(f_x\)）是 \(\mathcal{B}\) 可测的。
- 函数 \(x \mapsto \int_{Y} f(x, y) \, d\nu(y)\) 是 \(\mathcal{A}\) 可测的。
3. 以下等式成立：
\[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_{X} \left( \int_{Y} f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x) \]
同样地，如果我们先对 \(x\) 积分，结论也成立。即：
\[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_{Y} \left( \int_{X} f(x, y) \, d\mu(x) \right) d\nu(y) \]
因此，两个累次积分也相等。
核心思想：对于非负可测函数，积分顺序可以任意交换，结果总是相等的，并且等于二重积分。这一定理在证明中通常依赖于单调收敛定理，通过从简单函数逼近来建立。
第五步：富比尼定理的可积函数情形（Tonelli定理）
当函数 \(f\) 不是非负，而是可积（即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)）时，我们需要更谨慎一些。通常将完整的富比尼定理分为两部分：
- Tonelli定理：这就是我们上面提到的非负函数情形。它告诉我们，对于非负函数，我们可以放心地交换积分次序。即使最终算出来的积分值是无穷大，等式也成立。
- Fubini定理（狭义）：如果 \(f\) 关于乘积测度是可积的（即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)），那么：
- 对于几乎处处的 \(x\)，函数 \(f_x\) 是 \(\nu\) 可积的。
- 函数 \(x \mapsto \int_{Y} f(x, y) d\nu(y)\) 是 \(\mu\) 可积的。
- 累次积分相等且等于二重积分：\(\int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_{X} \left( \int_{Y} f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x)\)。
实际应用中的黄金法则：当我们需要交换一个未知符号的函数的积分次序时，通常先使用 Tonelli 定理于函数 \(|f|\)。如果 \(\int \int |f| \, d\mu d\nu < \infty\)，那么根据 Tonelli 定理，\(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)，即 \(f\) 可积。这样我们就满足了狭义 Fubini 定理的条件，可以安全地交换 \(f\) 本身的积分次序。这个“先检查绝对值积分是否有限”的步骤至关重要，可以避免出现两个累次积分存在但不相等，或者一个存在另一个不存在的情况。
第六步：一个反例的启示
为了理解可积性条件的重要性，考虑一个经典反例。在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上定义函数：
\[f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \]
计算两个累次积分：
- \(\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} f(x, y) \, dx \right) dy = -\frac{\pi}{4}\)
- \(\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} f(x, y) \, dy \right) dx = \frac{\pi}{4}\)
两个结果不相等！原因在于 \(f\) 在原点附近的行为太“坏”，使得 \(\iint_{[0,1]^2} |f(x, y)| \, dx dy = \infty\)，即 \(f\) 不是勒贝格可积的。这个反例清晰地表明，在没有可积性（或非负性）保证的情况下，随意交换积分次序可能导致错误结论。
总结
富比尼定理（通常包含Tonelli定理）是实变函数论中一个强大的工具：
- 核心：它允许我们在一定条件下将高维积分化为累次积分计算。
- 基础：建立在乘积测度空间的理论之上。
- 条件：分为两种情形：
- 非负可测函数（Tonelli）：无条件成立，积分顺序可任意交换。
- 可积函数（Fubini）：要求函数绝对可积，此时积分顺序可交换。
- 应用：在实际计算中，应先利用Tonelli定理检验绝对值函数的可积性，再应用Fubini定理进行交换。